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曲率 [曲率]

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观念

曲率是带有度量的几何对象 (通常为 Riemann 流形) 上沿无穷小圈的平行移动.

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Kähler 流形 [Kähler流形]

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“Kähler = 复 $\cap$ 辛流形 $\cap$ Riemann”

“Kähler = Riemann $\cap$ 陈”

另见超 Kähler 流形.

定义

设 $M$ 为复流形, 带有 Hermite 向量丛 $$ g\in C^\infty ({T^*}' M \otimes {T^*}''M). $$ (注. $g$ 是光滑截面, 而非全纯截面.)

设 $$ g = g_{i \bar j} dz^i \otimes d\bar z^j, $$ 其实部 $$ \operatorname{Re}g= \frac{1}{2} g_{i\bar j} (dz^i\otimes d\bar z^j + d \bar z^i\otimes d z^j) $$ 为 Riemann 度量, 虚部 $$ \gamma = \operatorname{Im}g=\frac{\sqrt{-1}}{2}g_{i\bar j}(dz^i\otimes d\bar z^j - d \bar z^i\otimes d z^j)=\frac{\sqrt{-1}}{2}g_{i\bar j}\, dz^i\wedge d\bar z^j $$ (的 $2$ 倍) 称为基本 $2$-形式. 见基本形式.

满足 Kähler 条件 $d\gamma=0$ 的度量称为 Kähler 度量, 此时 $\gamma$ 称为 Kähler 形式.

很自然地会产生退化度量.

性质

Kähler 度量的拉回

命题. 设 $f\colon N\to (M,g)$ 是 Kähler 流形的子流形, 则 $(N,f^* g)$ 是 Kähler 流形.

证明. 对 $(M,g)$ 的基本形式 $\gamma$ 有 $d(f^*\gamma)=f^*(d\gamma)=0$.

代数簇

命题. 若 $M$ 为紧 Kähler 流形, $H^2(M,\mathcal O_M) = 0$, 则 $M$ 是代数簇.

证明. $H^2(M,\mathbb C) \simeq H^{2,0} \oplus H^{1,1} \oplus H^{0,2}$, …

推论. 紧 Riemann 面是代数簇.

例

$\mathbb{C}P^n$ 在 Fubini–Study 度量下构成 Kähler 流形. 进而 $\mathbb{C}P^n$ 的子流形构成 Kähler 流形.

联络与曲率

定理. Kähler 流形 $M$ 的全纯切丛上的陈联络等同于 Levi-Civita 联络; 事实上这个条件与 Kähler 条件等价.

证明. 设 $g$ 为 Hermite 度量, $\nabla$ 为陈联络. 我们证明 $\nabla$ 无挠率等价于 $d\gamma = 0$.

考虑联络形式 $$ \omega = g^{-1}dg = \sum_k g^{i \bar k} \partial g_{i \bar k}, $$ 则有 $$ \nabla_{\frac{\partial}{\partial z^i}} \frac{\partial}{\partial z^j}=g^{\ell \bar k} \Big(\frac{\partial}{\partial z^i} g_{j\bar k}\Big) \frac{\partial}{\partial z^\ell} $$ 故 $\nabla$ 无挠等价于 $\displaystyle \frac{\partial g_{j\bar k}}{\partial z^i}$ 关于 $i,j$ 对称. 另一方面, $$ d\gamma = \partial\gamma+\bar\partial\gamma = 0 $$ 等价于 $$ \partial\gamma =0 $$ (因为 $\gamma$ 是实形式)

$\square$

定理. Kähler 条件等价于 Laplace 算子与微分形式到 $(p,q)$-形式的投影算子交换.

上面这个结论是丘先生 2023 年 3 月 16 日在院长讨论班讲的. 同时他说, 假若和 Laplace 算子交换的微分算子的环比标准的 ($\triangle,d,d^*$ 等等) 要更大, 那么流形的几何会有有趣的性质. 这种用算子完全代替几何的想法与非交换几何有关系.

曲率张量与近复结构相容: $$ R(X,Y)\circ J=J\circ R(X,Y). $$

定义 Ricci 形式 $$ \rho(X,Y)=\operatorname{Ric}(X,JY). $$ 有 $$ \rho = -2i K_{\alpha\bar{\beta}} dz^\alpha\wedge d\bar z^{\beta}, $$ 其中 $$ K_{\alpha\bar\beta} = -\frac{\partial^2 \log G}{\partial z^\alpha \partial\bar z^\beta},\quad G= \det(g_{\alpha\bar\beta}). $$

曲率 $2$-形式

$(1,1)$-形式 $$ \Omega_i^j = d\omega_i^j-\omega_i^k\wedge _k^j = R_{ik\bar\ell}^{j} dz^k d\wedge \bar{z}^\ell $$ 考虑

$$ R_{i\bar j}=- \frac{\partial ^4}{\partial z^i \partial z^j}\log\det(g,r). $$

适配坐标

类似于 Riemann 几何的正则坐标 (normal coordinates), 我们定义复流形上 $p$ 处的适配坐标 (adapted coordinates at $p$) 为满足如下条件的全纯坐标:

$z^i (p)=0$;
$g_{i\bar j}(p) =\delta_{ij}$;
$\Gamma_{jk}^i (p) = 0$.

定理. $(M,g)$ 为 Kähler 流形当且仅当每一点处存在适配坐标.

证明. 必要性. 对于适配坐标, $\nabla$ 无挠, 故 $\nabla$ 与 Levi-Civita 联络相等, $g$ 是 Kähler 的.

充分性. 先取 $z^i$ 满足前两条, 然后取常数 $c_{ik}^j$ (关于 $i,k$ 对称), 作坐标变换 $$ z^j = w^j + \frac{1}{2} \sum c_{ik}^j w^i w^k, $$ 试图满足第三个条件.

Kähler 势

命题. 基本形式 $\gamma$ 可写成 $$ \gamma = \sqrt{-1} \partial \bar\partial f, $$ $f$ 称为 Kähler 势.

证明. 因为 $\gamma$ 是闭形式, 局部上有 $1$-形式 $\psi$ 使得 $\gamma = d \psi$.

由 $\gamma$ 是实的, 有 $\psi = \varphi + \overline{\varphi}$, 其中 $\varphi$ 是 $(1,0)$-形式.

由 $$ \gamma = \partial \varphi + \partial \bar\varphi + \bar\partial \varphi + \bar\partial \bar\varphi $$ 是 $(1,1)$-形式, 知 $\bar\partial \bar\varphi = 0$.

由 $\bar\partial$-Poincaré 引理, 局部上存在光滑函数 $\tau$ 使得 $\bar\varphi = \bar\partial \bar\tau$, 也即 $\varphi = \partial \tau$. 因此 $$ \gamma = \bar\partial \partial \tau + \partial \bar\partial \bar\tau = \partial \bar\partial (\bar\tau - \tau), $$ 令 $\bar\tau - \tau = \sqrt{-1} f$ 即可. $\square$

因此 $$ g_{i \bar j} = \frac{\partial ^2 f }{\partial z^i \partial \overline{z^j}}. $$

Hodge 恒等式

$[L,\partial] = 0$, $[L,\bar\partial] = 0$, $[\Lambda,\bar\partial^*] = 0$, $[\Lambda,\partial^*] = 0$;
$[L,\partial^*] = \sqrt{-1}\bar\partial$, $[L,\bar\partial^*] = - \sqrt{-1}\partial$;
$[\Lambda,\partial]=\sqrt{-1}\bar\partial^*$, $[\Lambda,\bar\partial] = - \sqrt{-1}\partial^*$.

定义 $\triangle_\partial = \partial^* \partial + \partial \partial ^*$, 等等.

命题. $$ \triangle_d = 2 \triangle_{\partial} = 2 \triangle_{\bar\partial}. $$ 证明. $$ \begin{aligned} \triangle_d &= (\partial + \bar\partial)^*(\partial + \bar\partial) + (\partial + \bar\partial)(\partial + \bar\partial)^*\\ &= \triangle_{\partial} + \triangle_{\bar\partial}+ (\partial \bar\partial ^* + \bar\partial ^*\partial) +(\bar\partial \partial ^* + \partial ^* \bar \partial). \end{aligned} $$ 由 Hodge 恒等式, $$ \triangle_\partial = \partial ^* \partial + \partial \partial ^* = \sqrt{-1} [\Lambda,\bar\partial]\partial + \sqrt{-1} \partial [\Lambda,\bar\partial] = \triangle_{\bar\partial}, $$ $$ \partial \bar\partial ^* + \bar\partial ^*\partial = -\sqrt{-1} \partial [\Lambda, \partial] -\sqrt{-1} [\Lambda, \partial] \partial = 0. $$ $\square$

由此及 Hodge 理论 $$ \mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(M) \simeq \ker \triangle_{\bar\partial} $$ 可知 $$ \mathcal H_d^r(M) \otimes \mathbb{C} \simeq \sum_{p+q=r} \mathcal H^{p,q}_{\bar\partial}(M). $$

推论. 对于紧流形 $M$, $$ H^r(M;\mathbb{C}) \simeq \bigoplus_{p+q=r} H^q(M,\Omega^p(M)). $$

命题. $\triangle_d$ 是实算子, 即若 $\alpha$ 是实形式, 则 $\triangle\alpha$ 也是实形式.

由此, $\ker\triangle_{\bar\partial}$ 在共轭下不变;

定理. 对紧 Kähler 流形 $M$, $$ H^q(M,\Omega^p(M)) \simeq H^p(M,\Omega^q(M)). $$ 推论. $b^2 = \dim_\mathbb{C} H^2(M;\mathbb{C}) = 2 \dim H^{1,0}$ 是偶数.

和乐群, 单值群 [和乐]

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观念

和乐 (holonomy) 和单值群 (monodromy) 是两个相关但不同的概念, 粗略地说都是指 “沿一个圈的平行移动”. 和乐指的是与曲率有关的现象, 而单值群是无曲率时完全由拓扑决定的现象.

定义

主丛的和乐映射

拓扑版本

命题. 拓扑空间 $X$ 上的 $G$-主丛 $P\to X$ 在同伦和 $G$ 的内自同构的意义下确定了和乐映射 $\Omega X\to G$.

微分版本

设 $G$ 为 Lie 群, 记 $L_x$ 为 $x$ 处的分段光滑环路的集合, 其上具有广义微分结构. 和乐映射 $L_x\to G$ 是满足如下条件的广义光滑映射:

细同伦 (即同伦的像包含在曲线内) 的环路对应 $G$ 中相同的元素;
道路的复合对应 $G$ 中的乘法.

和乐映射的信息与主丛上的联络是等价的.

“杨–Mills 泛函” [杨--Mills泛函]

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设 $M$ 是 Riemann 流形, $\mathfrak g$ 是 Lie 代数. Yang–Mills 泛函是取值在联络上的泛函 $$ \mathcal L = \|F\|^2, $$ 其中 $F$ 是联络对应的曲率, $\|-\|$ 来源于 $\Omega^2(M,\mathfrak g)$ 上的一个内积.

$$ S=\int \mathcal L \,\text{dVol} = -\int F\wedge\star F $$

规范不变性

“完美 Morse 函数”

其临界点为杨–Mills 联络.

与全纯向量丛的联系

辛几何与动量映射将杨–Mills 泛函与全纯向量丛联系起来. 杨–Mills 理论可用于研究丛的模空间.

“杨–Mills 联络” [杨--Mills联络]

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称联络 $\nabla$ 为杨–Mills 联络, 是指其曲率形式满足 $$ \nabla^* R = 0. $$ 其中 $\nabla^*$ 是其形式伴随; 这等价于 $R$ 为调和形式.

$4$ 维情形的杨–Mills 方程可表示为曲率的 (反) 自对偶性 $\star R = \pm R$, 此时称 $\nabla$ (反) 自对偶.

Atiyah–Singer 证明 $$ SD :=\{\nabla: \nabla \text{自对偶} \}\big/ \text{规范等价} $$ (的 Uhlenbeck 紧化) 是有限维流形, 其配边类不依赖于 Riemann 度量的选取. Donaldson 证明某个示性类 $\beta$ 在 $SD$ 上的积分是 $M$ 的微分不变量 (只取决于微分结构). Seiberg–Witten 方程分类了 $4$ 维微分结构, 与 Donaldson 不变量相等.

杨–Mills 联络是杨–Mills 泛函的临界点.

“陈–Weil 理论” [陈--Weil理论]

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陈–Weil 同态

陈–Weil 理论由陈省身与 André Weil 在推广陈–Gauss–Bonnet 定理时建立, 其大意是由曲率形式构造向量丛的拓扑不变量, 如陈类.

陈–Weil 同态

陈–Weil 同态是 $1$ 维 $G$ 系数非 Abel 上同调 (也即 $G$-主丛) 到 de Rham 上同调的映射: $$ \operatorname{char}\colon H^1(X;G) \to \prod H_{dR}^{2n}(X). $$ 因为所有联络构成的空间可缩, 而 de Rham 上同调是同伦不变量, 所以我们希望陈–Weil 同态不依赖于联络的选取. (?)

不变多项式

矩阵空间 $M_n(\mathbb C)$ 上的不变多项式是指共轭不变 (即不依赖于基的选取) 的多项式: $P(T^{-1}AT)=P(A)$, 例如 $\det$ 与 $\operatorname{tr}$. 事实上, 矩阵的不变多项式必然是 $\operatorname{tr}A,\operatorname{tr}(A^2),\cdots,\operatorname{tr}(A^n)$ 的多项式 (形式上是特征值的对称多项式).

例. 给定向量丛 $E$ 上联络 $\nabla$ 的曲率形式 $\Omega$ (它是 $\operatorname{End}(E)$-值 $2$-形式, 在局部上可视为 $2$-形式构成的矩阵), 以及 $M_n(\mathbb C)$ 上的不变多项式 $P$, 我们可以定义 $P(\Omega)$.

引理. 对任意不变多项式 $P$, $P(\Omega)$ 是闭形式.

证明. 由第二 Bianchi 恒等式, $d\Omega^k =[\Omega^k,\omega]$. $$ d(\operatorname{tr}(\Omega^k))= \operatorname{tr}(d\Omega^k)=\operatorname{tr [\Omega^k,\omega]}=0. $$

命题. 上同调类 $[P(\Omega)]$ 不依赖于联络的选取.

不变多项式来自 Weil 代数.

主丛上的联络

Lie 代数 $\mathfrak g$ 上的不变多项式是指 $\mathfrak g$ 上 $\operatorname{ad}$-不变的多线性型.

设 $M$ 上有 $G$-主丛 $P$ 及其联络 $\gamma$, 曲率 $R$, 则陈–Weil 映射 $$ \left( \wedge^{2n} \mathfrak g^*\right)^{\mathfrak g} \overset{\wedge^n R}{\longrightarrow} \Omega^{2n}(M) $$ 将不变多项式对应到 $M$ 上的微分形式.

李思老师的评注. $G$-主丛的联络可理解为映射 $X_{dR}=(X,\Omega_X^\bullet) \to B\mathfrak g=(*, C^\bullet(\mathfrak g))$, 其中 $B\mathfrak g$ 是一个超流形, $C^\bullet(\mathfrak g)$ 是 Chevalley–Eilenberg 上链. 联络的平坦性说明这个映射是 dg-映射, 从而陈–Weil 同态将 $B\mathfrak g$ 上的上同调类拉回到 $M$ 上.

基本构造

设 $G$ 为 Lie 群, 记 $I^k(G)$ 为 $\operatorname{Sym}^k\mathfrak g^*$ 中 $\operatorname{Ad}$-不变元素的子空间. 其上有继承自 $\operatorname{Sym}^k\mathfrak g^*$ 的交换代数结构. 由 Chevalley 同构, $I^k(G)$ 同构于

设 $P\to M$ 为 $G$-主丛, 考虑关联的 Lie 代数丛 $P\times_{\operatorname{Ad}}\mathfrak g$. 若 $f\in I^k(G)$ 为不变多项式, 则对该丛的 $k$ 个截面 $s_1,\cdots,s_k$, 存在 $M$ 上良定义的函数 $f(s_1,\cdots,s_k)$.

一般地, 设 $s_i$ 是 $P\times_{\operatorname{Ad}}\mathfrak g\otimes E_i$ 的截面 ($1\leq i \leq k$), 则 $f(s_1,\cdots,s_k)$ 是 $E_1\otimes\cdots\otimes E_k$ 的截面.

证明

第一陈类

定理. 设 $E\to M$ 是光滑复线丛, 带有联络 $\nabla$ 和曲率形式 $\Omega$, 则 $$ c_1(E)=\frac{1}{2\pi i}[\Omega]. $$

“陈联络” [陈联络]

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陈联络在 Kähler 流形上尤其重要.

定义. 设 $(E,h)$ 为 Hermite 向量丛, 其上的陈联络是指满足 $\nabla h =0$, $(\nabla^{0,1})^2=0$ 的联络.

定理. 对任意全纯向量丛 $(E,\bar\partial_E)$, 给定其上的 Hermite 结构 $h$, 存在唯一的陈联络 $\nabla$ 满足 $\nabla^{0,1}=\bar\partial_E$.

$\nabla h=0$ 等价于对 $E$ 的光滑截面 $s,t$, $$ d(h(\bar s,t)) = h(\overline{\nabla s},t)+ h(\bar s,\nabla t), $$

定理. 对于全纯向量丛 $E$ 上的 Hermite 结构 $h$, 陈联络的联络形式为 $$ \omega = h^{-1} \partial h = (h^{i \bar k}\partial h_{\bar k j}). $$ 证明. 回忆联络形式 $\omega^i_j$ 的定义为 $$ \nabla e_j = e_i \otimes \omega^i_j, $$ 其中 $\omega^i_j$ 是 $(1,0)$-形式. 则 $$ \underbrace{\partial h_{\bar i j}}+ \bar\partial h_{\bar i j} = dh_{\bar i j}=h_{\bar k j}\overline{\omega^k_i}+ \underbrace{h_{\bar i k}\omega^k_j}. $$ $$ \omega^i_{j}=h^{i \bar k}\partial h_{\bar k j},\quad \omega = h^{-1}\partial h. $$

曲率

定理. 带有 Hermite 结构的全纯向量丛上的陈联络的曲率是一个 $(1,1)$-形式 $$ \Omega = \bar\partial (h^{-1}\partial h)= \bar\partial\omega. $$ 证明. $$ \begin{aligned} \Omega &= d\omega + \omega\wedge\omega\\ &= (\partial+\bar\partial)(h^{-1}\partial h) +h^{-1}\partial h \wedge h^{-1}\partial h\\ &=\cdots = \bar\partial (h^{-1}\partial h). \end{aligned} $$ 定理. 设 $L\to M$ 为全纯线丛, 则有 (不依赖于平凡化!) $$ \Omega = - \partial \bar\partial \log h. $$ 推论. 全纯线丛的第一陈类 $$ c_1 = \frac{i}{2\pi}\Omega = - \frac{i}{2\pi} \partial \bar\partial \log h. $$