辛流形是经典力学 (特别是 Hamilton 力学) 常用的几何背景.
定义
辛流形是偶数维实流形, 其上有非退化的 $2$-形式 $\omega$, 满足 $d\omega=0$, $\omega^n\neq 0$.
性质
紧辛流形 $M$ 满足 $H^2(M;\mathbb{R})\neq 0$.
乘积辛形式
辛流形 $M,N$ 的乘积上的辛形式定义为
$$
\omega_{M\times N} = \pi_M^*\omega_M - \pi_N^*\omega_N.
$$
辛映射
光滑映射 $f\colon M\to N$ 为辛映射当且仅当 $\Gamma f \subset M\times N$ 为 Lagrange 子流形.
Hamilton 向量场
给定函数 $H$ (称为 Hamilton 函数), 满足
$$
i_X\omega = - dH
$$
的向量场 $X$ 称作 $H$ 对应的 Hamilton 向量场, $X_H$.
命题. Hamilton 向量场的流保持辛形式, 即
$$
\mathcal L_X\omega =0.
$$
这是由于 Cartan 公式 $\mathcal L_X\omega = i_X d\omega + di_X\omega$.
命题. Hamilton 向量场的流保持对应的 Hamilton 量, 这是因为
$$
dH(X)=-\omega(X,X)=0.
$$
命题. 若向量场 $X$ 的流保持辛形式, 即 $\mathcal L_X\omega=0$, 则 $X$ 局部上为 Hamilton 向量场.
Poisson 括号
辛流形上的函数具有 Poisson 括号
$$
\{f,g\}=X_f g = \omega (X_f, X_g).
$$
由定义立得
命题.
$$
[X_f,X_g]=X_{\{f,g\}}.
$$
Hamilton G-作用
设 $G$ 为 Lie 群. $G$ 在 $\mathfrak g$ 上的伴随作用 (左作用) 诱导了其在 $\mathfrak g^*$ 上的余伴随作用 (右作用)
$$
\left< \operatorname{Ad}^*_g \mu,\xi\right> = \left< \mu, \operatorname{Ad}_g\xi\right>.
$$
现在设 $G$ 左作用于流形 $M$ 上, 从而有映射
$$
\mathfrak g \to \operatorname{Vect}(M),\quad \xi \mapsto \xi^{\#}.
$$
假设存在动量映射 $\Phi\colon M\to\mathfrak g^*$, 满足
$$
i_{\xi^{\#}}\omega = - d \left<\Phi(x),\xi\right>.
$$
等变性:
$$
\Phi\circ g = \operatorname{Ad}^*_{g^{-1}}\circ\Phi.
$$
Kirillov–Kostant 辛形式
考虑余伴随轨道 $\mathcal O$, 其上有辛形式与动量映射.
对于 $\xi,\eta\in\mathfrak g$, $\mu\in\mathcal O$,
$$
\omega(\mu) (\xi (\mu), \eta(\mu)) = \left<\mu,[\xi,\eta]\right>
$$
$\mathfrak g^*$ 上有 Poisson 结构:
$$
\{f_1,f_2\}(\mu) := \left< \mu, [df_1,df_2]\right>.
$$
可积系统
可积系统是 $2n$ 维辛流形上有 $n$ 个相互交换的 Hamilton 向量场, 即有 $n$ 维圆环的作用.