观念
结合代数 $A$ 可视为单对象充实范畴 $\mathbf{B}A$; 在这种意义上, 结合代数上的模可以推广为充实范畴上的模或者预层:
$$
\mathsf{LMod}(A) = \mathsf{Psh}(\mathbf{B}A).
$$
结合代数 $A$ 给出单子 $A\otimes (-)$; 在这种意义上, 结合代数上的模可以推广为单子上的模.
$$
\mathsf{LMod}(A) = \mathsf{Mod}(A\otimes (-)).
$$
结合代数上的模范畴可视为结合代数的范畴的切范畴.
更一般地, 对于幺半范畴 $\mathcal C$ 上的模 $\mathcal M$ 以及 $\mathcal C$ 中的结合代数 $A$, 可以谈论 $\mathcal M$ 中的 $A$-模.
另外, 对一般的算畴上的代数也可定义模的概念; 但这个概念对于结合算畴给出的是双模, 而非左模或右模.
定义
通过算畴
考虑算畴 $\mathsf{LM}$, 作为多重范畴有两个对象 $a,m$, 且有
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{LM}}(a\cdots a,a) = 1$,
- $\operatorname{Hom}_{\mathsf{LM}}(a\cdots am,m) = 1$,
- 其它 $\operatorname{Hom}$ 为空.
设 $\mathcal C$ 是幺半范畴, $A$ 是 $\mathcal C$ 中的结合代数. 左模范畴 $\mathsf{LMod}_{\mathcal C}(A)$ 是如下纤维:
$$
\mathsf{LMod}_{\mathcal C}(A) := \{A\} \times_{\mathsf{Alg}_{\mathbb E_1}(\mathcal C)}\mathsf{Alg}_{\mathsf{LM}}(\mathcal C).
$$
通过单子
假设我们定义了单子上的代数, 那么可以如下定义结合代数上的模: 对于结合代数 $A$ 有单子 $T_A := A\otimes -$; 定义
$$
\mathsf{LMod}(A) := \mathsf{Alg}(T_A).
$$
性质
相对张量积
在具有单纯余极限的范畴 $\mathcal C$ 中, 对于结合代数 $A$ 上的右模 $M$ 与左模 $N$, 可作相对张量积
$$
M\otimes_A N := \operatorname{colim}_{\Delta} M\otimes A^{\otimes\bullet}\otimes N.
$$
$M\otimes_A N$ 一般没有 $A$-左模或右模结构.
张量积也可以理解为 $\mathcal C$-充实范畴之间的代函子 $\mathbf{B}A\to\mathcal C$ 的复合
$$
\operatorname{colim}_{\mathbf{B}A} M\otimes N.
$$
通过取模范畴嵌入高阶模范畴
命题. 设 $\mathcal C\in\mathsf{Alg}(\mathsf{Pr})$ 为可表现幺半范畴. 函子 $\mathsf{Alg}(\mathcal C) \to \mathsf{LMod}_{\mathsf{Pr}}(\mathcal C)$, $A\mapsto\mathsf{LMod}(A)$ 为全忠实函子, 且保持余极限.
这说明取模范畴这一操作将结合代数提升到更高范畴层级. 参见 Gestalten - 在范畴上做代数.
例
交换代数上的模
交换代数上的模, 即是其作为结合代数的左模或右模. 注意, 交换代数上的左模或右模等同于其上的 $\mathbb{E}_\infty$-模 (见 算畴上的代数上的模), 但不同于其上的双模.