观念
单纯形范畴的对象是 “标准” 的, “组合” 的单纯形, 也即有限全序集.
单纯形与结合代数密切相关. 增广单纯形范畴中有游走的结合代数.
定义
单纯形范畴 (simplex category) $\Delta$ 是有限非空全序集的范畴
$$
\Delta = \{[0],[1],[2],\cdots\},
$$
其中 $[n] = \{0<1<\cdots < n \}$. 态射是偏序集的态射, 即满足对任意 $x,y$, 若 $x\leq y$, 则 $f(x)\leq f(y)$.
增广单纯形范畴 (augmented simplex category) $\Delta_+$ 是有限全序集的范畴
$$
\Delta_+ = \{[-1],[0],[1],[2],\cdots\}.
$$
$\Delta_+$ 是一个幺半范畴,
- 单位为 $[-1]$;
- $[n] \otimes [m] = [n+m+1]$;
- 其中有游走的结合代数 $[0]$;
- 注意, 这个幺半范畴不是对称幺半范畴, 因为不存在函子性的同构 $[n]\otimes [m]\simeq [m]\otimes[n]$.
另外还有两个重要的由单纯形构成的范畴. 记 $\Delta_\bot$ 为非空有限全序集之间保持最小元的态射构成的范畴; $\Delta_\top$ 为保持最大元的态射构成的范畴. 事实上, 它们可视为幺半范畴 $\Delta_+$ 中结合代数 $[0]$ 上的左模和右模范畴:
$$
\Delta_\bot = \mathsf{LMod}_{\Delta_+}([0]),\ \Delta_\top = \mathsf{RMod}_{\Delta_+}([0]).
$$
性质
几何单纯形
标准 $n$ 维几何单纯形是 $\mathbb{R}^{n+1}$ 的基向量 $e_0,e_1,\cdots,e_n$ 的凸包. 这定义了一个函子 $\Delta \to \mathsf {Top}$.
游走的结合代数
增广单纯形范畴 $\Delta_+$ 是一个结合代数 $[0]$ 生成的自由幺半范畴, 称 $[0]$ 为游走的结合代数; 也即对任意幺半范畴 $\mathcal M$ 中的结合代数 $A$, 存在唯一的幺半函子 $\Delta_+ \to M$, 将 $[0]$ 对应到 $A$.
单形之间的伴随
由于 $\Delta$ 的对象可视为偏序集, 即 $(0,1)$-范畴, $\Delta$ 自身可视为充实于偏序集的范畴, 即 $(1,2)$-范畴. 我们可谈论 $\Delta$ 中的伴随.
命题. $[n-1]$ 与 $[n]$ 之间有如下伴随:
$$
d_n \dashv s_{n-1}\dashv d_{n-1}\dashv\cdots\dashv s_0\dashv d_0.
$$
其中 $d_i\colon [n-1]\to [n]$ 是唯一的像不含 $i$ 的单射, $s_j\colon [n] \to [n-1]$ 是唯一的将两个元素映到 $j$ 的满射.
$$
d_n x\leq y\, \Leftrightarrow x\leq s_{n-1}y
$$
保持极值的单形范畴
范畴 $\Delta_\bot$, $\Delta_\top$ 是 $\Delta_+$ 的 (非全) 子范畴, 我们关注其 $[n-1]$ 和 $[n]$ 之间往来的态射, 因为这些态射生成所有态射:
- $\operatorname{Hom}_{\Delta_\bot}([n-1],[n]) = \{d_n,\cdots,d_1\}$,
- $\operatorname{Hom}_{\Delta_\top}([n],[n-1]) = \operatorname{Hom}_{\Delta_\bot}([n],[n-1]) = \{s_{n-1},\cdots,s_0\}$,
- $\operatorname{Hom}_{\Delta_\top}([n-1],[n]) = \{d_{n-1},\cdots,d_0\}$.
结合前面陈述的伴随关系, 我们注意到 $\Delta_\bot$ 与 $\Delta_\top$ 之间存在一个反变等价
$$
\Delta_\bot^{\mathrm{op}} \overset{\simeq}{\rightleftarrows} \Delta_\top,
$$
- 将态射 $d_i\in\operatorname{Hom}_{\Delta_\bot}([n-1],[n])$ 对应到其右伴随 $s_{i-1}$,
- 将态射 $s_j\in\operatorname{Hom}_{\Delta_\bot}([n],[n])$ 对应到其右伴随 $s_{i-1}$,
区间表示
对于 $\Delta_+$ 中的态射 $f\colon [n] \to [m]$, 考虑 $f'\colon [m+1] \to [n+1]$,
$$
f'(x) = \min\{y\colon f(y)\geq x\}.
$$
(约定 $f(n+1) = m+1$.)
这给出一个函子
$$
\mathrm{ir}\colon\Delta_+^{\mathrm{op}} \to \Delta_+,
$$
其在对象层面将 $[n]$ 对应到 $[n+1]$.
Riehl–Verity 文中该函子称为区间表示 (interval representation), 因为有一种直观是将 $[m+1]$ “分成 $m+1$ 个区间”, 每个区间对应 $[m]$ 的一个点. 例如下图中, 左边是 $\Delta_+$ 中的一个态射 $[2] \to [1]$ (从下到上), 而右边是 $\Delta_+$ 中的一个态射 $[2] \to [3]$ (从上到下). 左边蓝色的点对应右边蓝色的区间, 故名区间表示.
注意 $f'(0) = 0$, $f'(m+1)=n+1$, 也即 $f'$ 保持最小值与最大值. 事实上, 函子 $\mathrm{ir}$ 分解为
$$
\Delta_+^\mathrm{op}\simeq\mathsf{BiMod}_{\Delta_+}([0])\to\Delta_+.
$$
相关概念
单纯对象, 单纯范畴