范畴化 (categorification) 在数学上有多种含义, 但每种范畴化都是提升范畴层级的过程. 所谓范畴层级大致就是指 $(n,r)$-范畴中的整数 $r$.
逆范畴化的反向过程
范畴化是一个模糊的概念, 而逆范畴化 (decategorification) 有清晰的含义:
- 在 $1$-范畴中, 取对象的等价类, 得到一个集合;
- 在一般的高阶范畴中, 去掉高阶不可逆态射, 并将高阶的等价截断, 得到较低阶的范畴.
当高阶范畴具有额外的代数结构 (如幺半结构) 时, 其逆范畴化仍保留相应结构.
如果能将上述操作 “反向”, 即由带结构的低阶范畴开始, 找到一个带结构的高阶范畴, 其逆范畴化是已知的结构, 则可将该过程称为范畴化.
走向 $\mathsf{Cat}$ 的内部
有另一种范畴化的思路, 可以理解为: 将 “集合” 替换为 “范畴”, 重新做一遍熟悉的事情. 更准确地说即是在 $\mathsf{Cat}$ 的内语言中工作.
例如幺半范畴就是 $\mathsf{Cat}$ 中的结合代数. 那么对于普通的结合代数能够谈论的事情, 对于幺半范畴基本上也能谈论: 例如我们可以谈论幺半范畴上的模, 它不过是一种结合代数上的模.