双手性 [双手性]

性质

命题. 设 $\mathcal{C}$ 为 $(\infty,3)$-范畴, $F\colon X\to Y$ 为其中的态射. 如下条件等价:

1. $F$ 有右伴随 $F^R\colon Y\to X$, 且单位 $\eta\colon \mathrm{id}_X \to F^RF$ 与余单位 $\varepsilon\colon F F^R \to\mathrm{id}_Y$ 都有右伴随;
2. $F$ 有左伴随 $F^L\colon Y\to X$, 且单位 $\eta\colon \mathrm{id}_Y \to FF^L$ 与余单位 $\varepsilon\colon F^L F \to\mathrm{id}_X$ 都有左伴随.

当上述条件成立时, 有 $F^L\simeq F^R$.

证明. 假设第一个条件成立, 那么 $\eta$ 和 $\varepsilon$ 的右伴随 $\eta^R\colon F^R F\to \mathrm{id}_X$, $\varepsilon^R\colon \mathrm{id}_Y\to FF^R$ 分别给出了 $F^R\dashv F$ 的余单位和单位, 说明 $F^R$ 是 $F$ 的左伴随. $\square$