观念
分解同调 (factorization homology), 又叫手性同调 (chiral homology), 是将 $\mathbb E_n$-代数 “沿 $n$ 维流形作张量积”, 或更一般地将 $\mathbb E_M$-算畴的代数在流形 $M$ 上作 “张量积”.
$n$ 维流形范畴上的任何具有局部性的自然构造都是某个 $\mathbb E_n$-代数的分解同调.
$S^1$ 上的分解同调即 Hochschild 同调.
分解同调也可以理解为流形的同调群的推广. 由 Dold–Thom 定理, 空间的同调群是其 “$\mathbb N$-系数构形空间” (即空间生成的自由交换幺半群) 的同伦群; 而对于 $\mathbb E_n$-代数 $A$, 可构造标架流形 $M$ 上的 “$A$-系数构形空间”, 直观上标架提供了将 $\mathbb E_n$-代数的元素 “相加” 的方法.
定义
记 $\mathsf{Mfd}_n$ 为如下对称幺半范畴: 其对象为 $n$ 维光滑流形, 态射空间为光滑嵌入的空间 (注意不是光滑映射的空间), 对称幺半结构为流形的不交并 (注意这个结构不是 $\mathsf{Mfd}_n$ 中的余积, 因为两个嵌入 $M_1\to N$, $M_2\to N$ 不一定能给出嵌入 $M_1\sqcup M_2\to N$).
$\mathbb E_n$-代数的分解同调
设 $(\mathcal C,\otimes)$ 为对称幺半范畴, $A$ 为其中的 $\mathbb E_n$-代数. 回忆, $\mathbb E_n$-代数的语法范畴为 “标架 $n$-圆盘范畴” $\mathsf{Disk}_n^{\mathrm{fr}}$ (其对象为若干个 $n$-圆盘的无交并, 态射为保持标架的光滑嵌入). 换言之, $\mathcal C$ 中的 $\mathbb E_n$-代数 $A$ 等同于对称幺半函子
$$
A\colon \mathsf{Disk}_n^{\mathrm{fr}} \to \mathcal C.
$$
现在设 $M$ 是带标架的 $n$ 维光滑流形. 考虑范畴
$(\mathsf{Disk}_n^{\mathrm{fr}})_{/M}$,
其对象为嵌入 $\sqcup_k \mathbb{R}^n \hookrightarrow M$, 态射为包含关系. 定义 $A$ 在 $M$ 上的分解同调为
$$
\int_M A := \operatorname{colim}_{(\mathsf{Disk}_n^{\mathrm{fr}})_{/M}} A^{\otimes k}= \operatorname{colim}_{\sqcup_k \mathbb{R}^n \hookrightarrow M}
A^{\otimes k}.
$$
那么分解同调函子
$$
\int_{-}A \colon \mathsf{Mfd}_{n}^{\mathrm{fr}} \to \mathcal C
$$
是 $A$ 沿 $\mathsf{Disk}_n^{\mathrm{fr}} \hookrightarrow \mathsf{Mfd}_n^{\mathrm{fr}}$ 的左 Kan 扩张.
$\mathbb E_M$-代数的分解同调
固定流形 $M$, 记 $\mathsf{Disk}_n$ 为 $\mathsf{Mfd}_n$ 中由 $S\times\mathbb{R}^n$ ($S$ 为有限集) 构成的全子范畴. 有一个直观的函子 $(\mathsf{Disk}_n)_{/M} \to \mathbb E_M^\otimes$ (后者是指 $\mathbb E_M$-算畴作为 $\mathsf{Fin}_{*}$ 上的纤维范畴的全空间.) 这个函子允许我们对 $\mathbb{E}_M$-代数 $\mathcal{A}$ 与 $U\in (\mathsf{Disk}_n)_{/M}$ 谈论 $\mathcal{A}$ 的 “$U$ 分量” $\mathcal{A}(U)$.
对于有筛余极限的对称幺半范畴 $\mathcal O$, 可构造分解同调
$$
\int_M \colon \mathsf{Alg}_{\mathbb E_M}(\mathcal O) \to \mathcal O,
$$
$$
\int_M \mathcal A := \operatorname{colim}_{U\in (\mathsf{Disk}_n)_{/M}} \mathcal A (U).
$$
性质
切除性
设 $\mathcal C$ 的对称幺半结构 $\otimes$ 保持每个分量的筛余极限. 那么对于 $\mathbb E_n$-代数 $A$,
$$
\int_{-}A\colon \mathsf{Mfd}_n^{\text{fr}} \to\mathcal C
$$
是对称幺半函子. 此时进一步有如下的 $\otimes$-切除性 (excision):
对于标架 $n$-流形的 “粘领口” (collar-gluing) 分解
$$
X=X_0\cup_{W\times\mathbb{R}}X_1
$$
($X_0$, $X_1$ 为 $X$ 中的开集, $X_0\cap X_1=W\times\mathbb{R}$), 有
$$
\int_X A \simeq \int_{X_0}A{\bigotimes_{\int_{W\times\mathbb{R} }A}}\int_{X_1}A.
$$
其中用到 $\int_{W\times\mathbb{R}}A$ 是结合代数 (因为有对称幺半函子 $W\times -\colon \mathsf{Disk}_1^{\text{fr}} \to \mathsf{Mfd}_n^{\text{fr}}$), 且 $\int_{X_0}A$ 是 $\int_{W\times \mathbb{R}}A$-右模
(这是因为领口可以再加一个领口, 两个领口可以合成一个领口).
例: $S^1$ 的分解同调
由于 $S^1$ 可以写成
$$
S^1 = \mathbb{R} \cup_{S^0\times\mathbb{R}} \mathbb{R},
$$
对任意 $\mathbb E_1$-代数 (即结合代数) $A$, 切除性给出一个等价
$$
\int_{S^1}A\simeq A\otimes_{A^{\mathrm{op}}\otimes A}A.
$$
这便是 Hochschild 同调的一种定义.