本文的目标是以尽可能少的前置知识解释同伦论的动机.
前置知识: 拓扑学基本概念.
所谓同伦论就是研究什么是 “同” 的学问. 在拓扑学中, 人们作了如下规定:
- 考虑单位区间 $I = [0,1]$. 规定在一个拓扑空间 $X$ 中, 两个点 $p,q$ 之间的 “同” 就是它们之间的道路 $\gamma\colon I\to X$, $\gamma(0) = p$, $\gamma(1) = q$.
对于空间 $X$ 中的两个点 $p,q$, 我们不仅能谈论它们是否相同, 而且能 (而且应该) 谈论它们如何相同, 毕竟两个点之间的道路可能有许多种. 区分是否和如何是现代数学的一项重要课题. (参见结构与性质.)
自然地, 我们应该好奇一个点 $p$ 如何与自身相同.
虽然这个问题有一个平凡的答案, 即等号的自反性, 或着说空间上的常值路径; 但也可能有许多不平凡的答案, 如圆圈 $S^1$ 上绕行一周的路径. 正是这些不平凡的答案构成了同伦论这门学科.
在数学中, 所有的等式满足一个基本的原则: 若对于一种事物 $x$ 有与之相关的另一种事物 $f(x)$, 那么对等式 $\alpha\colon x = y$ 就必须有等式 $f(\alpha)\colon f(x) = f(y)$. 这条基本原则引申出的结果是极为丰富的.
现在假设点 $p$ 到点 $q$ 有一条指定的道路 $\alpha \colon p = q$, 即一种指定的将 $p$ 等同于 $q$ 的方式. 令 $f(x) := (x = q)$, 那么由 $\alpha$ 就得到 $f(\alpha) \colon f(p) = f(q)$, 即 $(p = q) = (q = q)$. 因此, 要研究 $p$ 到 $q$ 的所有道路, 只需要研究点 $q$ 到自身的所有道路.
了解了每一个点如何与自身相同, 就足以了解任何两个点之间如何相同.
上面说的空间和点, 并不是只有足球, 甜甜圈这种看得见的空间, 和摸得着的点. 任何类型的数学对象的全体都构成一个空间, 每个对象是其中的一个点. (参见分类空间.) 所以, 有数学的地方就有同伦论.
特别地, 点 $p$ 到自身的道路, 称为环路, 也是一种数学对象; 我们当然应该研究其构成的空间, 称为环路空间 $\Omega (X,p)$, 或在点 $p$ 明确时简记为 $\Omega X$.
环路空间和许多事情一样, 没有理由仅做一次就停止, 我们自然地应该关心环路空间 $\Omega X$ 的环路空间 $\Omega^2 X$, 其环路空间 $\Omega^3 X$, … 以至于无穷.
第 $n$ 阶环路空间 $\Omega^n X$ 所携带的信息粗略地称为 $X$ 的 $n$ 阶同伦信息.
有时我们发现当 $n$ 较大时一个空间没有了 $n$ 阶同伦信息; 这就是说 $\Omega^n X = *$ 是一个点 (那么当然 $\Omega^{n+1}X,\Omega^{n+2}X,\cdots$ 也都是一个点). 例如一个传统数学中的集合, 其中的两个元素要么相等, 要么不相等, 没有任何非平凡的相等的方式; 我们说集合没有 $1$ 阶以上的同伦信息, 或者说集合是 $0$-截断的.