观念
Schur 函子是一系列函子 $S^\lambda\colon \mathsf {Mod}(R)\to \mathsf{Mod}(R)$, 它将 $R$ 模 $X$ 对应到其 $n$ 次张量积中 $S_n$ 作用下以一定规律 (即对称群的表示) 变换的子模. 例如对称幂 $\operatorname{Sym}^n X$ 和交错幂 $\wedge^n X$ 都是 Schur 函子.
Schur 函子是 Schur 多项式的范畴化.
定义
具体版本
设 $X$ 是向量空间, $\lambda$ 是 Young 图(表).
考虑 $X^{\otimes n}$, 每个部分对应 Young 图的一个方块.
取出其中交换同一行的任何两部分都不变的子空间;
然后投影到其中交换同一列的任何两部分都变号的商空间;
所得的就是 $S^\lambda X$.
抽象版本
使用群代数 $\mathbb{C}[S_n]$, 我们可以更抽象地给出 $S^\lambda$ 的定义.
我们可以将 “对每一行对称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^S \in \mathbb{C}[S_n]$, “对每一列反称化” 的操作视为元素 $p_\lambda^A\in\mathbb{C}[S_n]$. 定义 Young 对称化子
$$
p_\lambda = p_\lambda^A p_\lambda^S\in\mathbb{C}[S_n],
$$
于是
$$
S^\lambda X = p_\lambda (X^{\otimes n}).
$$
注意 $p_\lambda^A$ 和 $p_\lambda^S$ 都是幂等算子, 但它们不交换. 事实上, $p_\lambda$ 只差一个常数就是幂等算子.
进一步, 由于 $p_\lambda$ 作用在 $\mathbb{C}[S_n]$ 上给出 $S_n$ 的不可约表示 $V_\lambda$ (见对称群的表示), 故 Schur 函子可写为
$$
S^\lambda X = V_\lambda \otimes_{\mathbb{C}[S_n]} X^{\otimes n}.
$$
甚至我们可以对 $S_n$ 的任何表示 $V$ 定义函子 $S_V$.
例
对于 $\lambda = (n)$, 即一行的 Young 图, $S^\lambda E = \operatorname{Sym}^n E$;
对于 $\lambda = (1,\cdots,1)$, 即一列的 Young 图, $S^\lambda E = \wedge^n E$;