观念
法形变 (normal deformation), 又称到法锥的形变 (deformation to the normal cone), 是对流形或概形等几何对象的闭嵌入 $M\to X$ 定义的由 $X$ 到 $M$ 的法锥的形变. 直观上, 当形变参数趋近于 $0$ 时, $X$ 的其余部分被推到无穷远, 仅留下 $M$ 附近的部分, 也即法丛.
另一种直观是, 由 $\mathbb{R}$ 上的平凡 $X$-丛开始, 将 $0$ 处的纤维替换为法丛 $T_M X$, 然后重新定义拓扑: 当 $t$ 趋向 $0$, $x\in X$ 沿着方向 $v\in T_M X$ 趋向于 $m\in M$ 时, 我们认为 $(x,t)$ 趋向于 $(m,v)$.
定义
仿射概形
对于交换环 $A$ 的理想 $I$, 仿射概形 $\operatorname{Spec}A$ 的闭嵌入 $\operatorname{Spec}A/I \hookrightarrow \operatorname{Spec}A$ 的法形变对应于扩展 Rees 代数
$$
A[t,It^{-1}] := \bigoplus_{n\in\mathbb{Z}} I^n t^{-n} \subset A[t,t^{-1}].
$$
其中约定当 $n \leq 0$ 时 $I^n = A$. 注意我们使用 $t$ 作为形变参数, 从而 Rees 代数的表示式可能与其它文献不同.
映射 $\operatorname{Spec} A[t, I t^{-1}] \to \mathbb A^1$ 在 $t=0$ 处的纤维为
$$
\begin{aligned}
&\operatorname{Spec} A[t, It^{-1}]/(t)\\
&=\operatorname{Spec}\bigoplus_{n\geq 0}(I^n/I^{n+1})t\\
&=\operatorname{Spec}\operatorname{gr}_IA,
\end{aligned}
$$
其中 $\operatorname{gr}_I A$ 为 $A$ 上由 $I$ 确定的滤的关联分次代数.
流形的局部坐标
设 $X$ 为 $n$ 维流形, $M\subset X$ 为闭子流形, 余维数为 $\ell$.
构造其法形变 (normal deformation) 流形 $\widetilde X_M$ 如下:
- 考虑 $X$ 的局部 $U$. 取 $U$ 上的坐标 $x = (x',x'') \in \mathbb{R}^n$, 其中 $x'$ 为前 $\ell$ 个坐标, 满足 $U\cap M$ 恰对应 $x'=0$ 的部分.
- 定义 $V = \{(x',x'',t)\in\mathbb{R}^\ell\times\mathbb{R}^{n-\ell}\times\mathbb{R}\mid p=(tx',x'')\in U\}$. 这给出映射 $p\colon V\to U$ 以及 $t\colon V\to\mathbb{R}$.
- 将所有 $V$ 粘起来得到流形 $\widetilde X_M$, 同时得到映射 $\widetilde X_M \to X\times\mathbb{R}$.
例
直线上一个点的法形变: $X = \mathbb{R}$, $M = \mathrm{pt}$; $\widetilde{X}_M$ 同胚于 $\mathbb{R}^2$, 映射 $\widetilde{X}_M \to X\times \mathbb{R}$ 为 $(\xi,t)\mapsto (x=\xi t,t)$. 这在代数上描述为: $\mathrm{pt}\hookrightarrow\mathbb A^1$ 的扩展 Rees 代数为
$$
\mathbb{Z}[x][\xi=xt^{-1},t] \simeq \mathbb{Z}[\xi,t].
$$
圆上一个点的法形变: $X = S^1$, $M = \mathrm{pt}$; $\widetilde {X}_M$ 如下图. 图中的等高线展示了 $S^1$ 形变到一点处的法丛 (即 $X$ 的切空间) 的过程.
直线上两个点的法形变: $X = \mathbb{R}$, $M = \{\pm 1\}$; $\widetilde {X}_M$ 如下图. 图中蓝色粗线为法丛.
这在代数上描述为: $(0,1)\colon \mathrm{pt} + \mathrm{pt} \to \mathbb A^1$ 的扩展 Rees 代数为
$$
\mathbb{Z}[x][\xi=(x^2-1)t^{-1},t] \simeq \mathbb{Z}[x,\xi,t]/(x^2-t\xi-1).
$$
对角线
对角线的法形变有特殊的意义.