百科. 微丛 [微丛]

观念

微丛 (microbundle) 是以带基点的拓扑空间 $\mathbb{R}^n$ 为纤维的纤维丛, 是向量丛的模拟, 但其上没有加法.

定义

一个微丛是拓扑空间之间的一个连续映射 $p\colon E \to B$, 带有截面 $i\colon B\to E$ (称为零截面), 且满足如下局部平凡性: 对任意 $b\in B$, 存在 $b$ 的邻域 $U$ 与 $i(b)$ 的邻域 $V$, 以及 $U$ 上的同构 $$ \begin{array} {ccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! V \cap p^{-1}(U) \!\!\! & \overset{\simeq}{\to} &\!\!\! U\times\mathbb{R}^n\!\!\!\\ \downarrow & \swarrow &\\ U.\!\!&& \end{array} $$ 但实际上微丛 $E\to B$ 有用的信息只是零截面 $i(B)$ 的一个 “微小” 邻域. 因为微丛的态射是这样定义的: 同一个空间 $B$ 上的微丛之间的态射 $E\to E'$ 是零截面邻域上的函数芽. 因此, 两个微丛的同构也只需要各自的零截面的一个邻域之间的同构.

例

切微丛

拓扑流形 $M$ 的切微丛定义为 $\mathrm{pr}_1\colon M\times M\to M$, 零截面为对角线 $\Delta\colon M\to M$. 如前所述, 这个微丛实际上有用的信息是 $M$ 的每个点的一个微小的邻域.