观念
几何对象 $X$ 的切丛是一阶无穷小线段到 $X$ 的映射空间.
另见切微丛.
无穷小的代数观点
我们先从最简单的情形, 即曲线的切空间谈起. 设 $C$ 是由二元多项式 $F(x,y)$ 确定的代数曲线, 其坐标环定义为 $\mathbb{C}[C]=\mathbb{C}[x,y]/(F(x,y))$. 考虑环同态
$$
\mathbb{C}[C] \overset{\varphi}{\to} \mathbb{C}[\varepsilon]/(\varepsilon^2) \overset{\psi}{\to} \mathbb{C},
$$
其中
$$
\varphi\colon x\mapsto a+a_1\varepsilon,\ y\mapsto b+b_1\varepsilon,
$$
而 $\psi\colon \varepsilon\mapsto 0$ 是典范的投影. 则 $\varphi$ 对应了曲线 $C$ 的一个切向量, 而 $\psi\circ\varphi$ 给出了这个切向量的基点. 这是代数-几何对偶的体现: $\mathbb{C}$ 对应一个点, $\mathbb{C}[x]/(x^2)$ 对应一个 “无穷小线段”, $\psi$ 对应基点到无穷小线段的 “含入映射”.
考虑 $C$ 上一点 $x_0=(a,b)$, $\mathbb{C}[C]$ 中对应 $x_0$ 的极大理想 $\mathfrak{m}_{x_0}$ 由 $x-a,y-b$ 生成. 对于 $f\in\mathfrak m_{x_0}$, $\varphi(f)\in\ker\psi$ 这个事实就是在说 $f$ 在 $x_0$ 处消失, 所以 $\varphi (\mathfrak{m}_{x_0})\subset \ker\psi$ 可理解为 “$C$ 上 $x_0$ 处消失的函数对应到无穷小线段上基点处消失的函数”. 又注意到 $\varphi(\mathfrak m_{x_0}^2)=0$, 即 “$C$ 上 $x_0$ 处二阶消失的函数对应到无穷小线段上的 $0$ 函数”; 所以 $\varphi$ 诱导了商空间 $\mathfrak m_{x_0}/\mathfrak m_{x_0}^2$ 上的线性函数. 于是, 我们定义 $C$ 在 $x_0$ 处的切空间为 $\mathfrak m_{x_0}/\mathfrak m_{x_0}^2$ 的对偶空间.
评注1. 这里的曲线 $C$ 虽然是放在一个大空间 $\mathbb{C}^2$ 里面, 但完全可以内蕴地来看.
评注2. 一个点的理想定义出的是一个点处的余切空间, 那么同时考虑每个点上的理想, 即对角线上消失的理想层, 就会得到所有的余切空间, 也即余切丛.
余切丛
对于代数簇 $X$, 考虑对角线嵌入 $\Delta\colon X\to X\times X$, 设 $I\subset \mathcal O_{X\times X}$ 为在对角线上消失的理想层, 则有 $\mathcal O_X \simeq \mathcal O_{X\times X} / I$.
进一步, 考虑 “二阶消失” 的理想 $I^2$, 有正合列
$$
0 \to I / I^2 \to \mathcal O_{X\times X}/I^2 \to \mathcal O_X\to 0,
$$
其中 $I / I^2$ 就是余切丛 $\Omega_X^1$.
一般地, 对于 $S$-概形 $X$ (即概形的态射 $f\colon X\to S$), 余切层 $\Omega_{X/S}$ 是 $X$ 上的一个 $\mathcal O_X$-模, 构造如下. 考虑对角映射 $\Delta\colon X\to X\times_S X$, 其像局部闭, 即在某开集 $W$ 中闭. (其像为闭当且仅当 $f$ 分离.) 考虑 $W$ 中 $\Delta(X)$ 对应的理想层 $I$, 则有 $\Omega_{X/S} =\Delta^*(I/I^2)$.
$\Omega_{X/S}$ 分类了 $S$-导子:
$$
\operatorname{Der}_S(\mathcal O_X,F) \simeq \operatorname{Hom}_{\mathcal O_X}(\Omega_{X/S},F).
$$
用余法丛定义余切丛
对于 $S$-概形 $X$, 余切丛也可定义为 $X$ 在 $X\times_S X$ 中的法丛.