分次模 [分次模]

定义

分次模有如下两种含义, 前一种是后一种的特例, 但前一种更为基本.

不带分次的环

固定交换环 $A$. 定义分次 $A$-模为 $A$-模范畴中的分次对象.

分次环

固定交换环 $k$, 分次 $k$-代数 $A$ 是分次 $k$-模范畴中的结合代数; 于是可定义分次 $A$-模为分次 $k$-模范畴中 $A$ 上的模.

具体地, 分次环 $A = \bigoplus_{n} A_n$ 上的分次模等同于 $A$-模 $M \simeq\bigoplus_n M_n$, 满足乘法映射 $A\otimes M\to M$ 将 $A_n\otimes M_{n'}$ 映射到 $M_{n+n'}$.

作为拟凝聚层

分次环 $A$ 上的分次模 $M$ 等同于 $\operatorname{Spec}A$ 上的 $\mathbb G_m$-等变拟凝聚层, 也即商叠 $\operatorname{Spec}A / \mathbb G_m$ 上的拟凝聚层.

不带分次的环 $A$ 相当于仅有 $0$ 次部分的分次环, 对应 $\mathbb G_m$ 在 $\operatorname{Spec}A$ 上的平凡作用. 分次 $A$-模等同于 $\operatorname{Spec}A/\mathbb G_m = \operatorname{Spec}A\times\mathbf{B}\mathbb G_m$ 上的拟凝聚层.