定义
域 $k$ 上的中心单代数 $A$ 是满足如下条件的有限维 $k$-代数:
- $A$ 为单代数, 即 $A$ 没有非平凡的双边理想;
- $A$ 的中心为 $k$.
对于两个中心单代数 $A,B$, 若如下等价条件成立, 则称它们相似:
- 存在 $k$ 上的可除代数 $D$ 使得 $A,B$ 都同构于 $D$ 上的某个矩阵代数;
- $A$ 上的某个矩阵代数同构于 $B$ 上的某个矩阵代数.
域 $k$ 上的中心单代数的相似类关于张量积构成的群称为 $k$ 的 Brauer 群 $\mathrm{Br}(k)$.
例
矩阵环 $M_n(K)$ 是 $K$ 上的中心单代数.
$\mathbb{H}$ 是 $\mathbb{R}$ 上的中心单代数.
性质
张量积
命题. 设 $A,B$ 为域 $k$ 上的中心代数, 则 $A\otimes_k B$ 为中心代数.
证明. 设 $z = \sum_{i=1}^n a_i \otimes b_i$ 是 $A\otimes_k B$ 的中心的元素, 使得 $\{b_i\}$ 在 $k$ 上线性无关. 对任意 $a\in A$,
$$
0 = az-za = \sum_{i=1}^n (aa_i-a_ia)\otimes b_i.
$$
故 $aa_i = a_i a$ 对每个 $i$ 成立, 从而 $a_i\in k$, 进而 $z$ 可以写成 $1\otimes b$, $b\in B$, 而 $b$ 又与 $B$ 的所有元素交换, 故 $b\in k$. 这说明 $A\otimes_k B$ 的中心为 $k$. $\square$
命题. 设 $A$ 为域 $k$ 上的中心单代数, $B$ 为 $k$ 上的单代数, 则 $A\otimes_k B$ 为 $k$ 上的单代数.
证明. 设 $I$ 为 $A\otimes_k B$ 的双边理想.
注意到 $I$ 的非零元素 $x$ 可以写成 $x=\sum_{i=1}^n a_i\otimes b_i \in I$, 且 $\{b_i\}$ 在 $k$ 上线性无关. 考虑所有 $x\in I$ 的所有这种表达式中使得 $n$ 最小者.
由于 $n$ 的最小性, 有 $a_1\neq 0$, 从而 $a_1$ 生成的 $A$ 的双边理想是 $A$ 自身, 故可选取 $x\in I$ 使得 $a_1=1$. 由于 $n$ 的最小性, 对任意 $a\in A$, 有 $ax-xa = 0$, 也即 $a$ 与 $a_2,\cdots,a_n$ 交换. 那么 $a_i\in Z(A)=k$. 这说明 $n=1$, $x = 1\otimes b$, $b\in B$. 由 $B$ 为单代数, $x$ 生成的 $B$ 的双边理想是 $B$ 自身, 故 $x$ 生成的 $A\otimes_k B$ 的双边理想是 $A\otimes_k B$ 自身. $\square$
推论. 中心单代数的张量积仍是中心单代数.
这也是下述 Wedderburn 定理的推论, 因为 $M_n(D) \otimes_k M_{n'}(D') \simeq M_{nn'}(D\otimes_k D')$, 且中心可除代数的张量积为中心单代数.
与中心可除代数的关系
定理 (Wedderburn). 域 $k$ 上的有限维单代数同构于 $k$ 上的某个中心可除代数 $D$ 的某个矩阵代数 $M_n(D)$. 参见 Artin–Wedderburn 定理.
设域 $k$ 上的中心单代数 $A$ 同构于 $M_n(D)$, $D$ 为 $k$ 上的中心可除代数. 则同构意义下, $A$ 上唯一的单左模是 $D^n$.
定理 (Frobenius). $\mathbb{R}$ 上的有限维可除代数仅有 $\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{H}$.
因此, $\mathbb{R}$ 上的中心可除代数仅有 $\mathbb{R},\mathbb{H}$. 换言之, $\mathbb R$ 的 Brauer 群是由 $\mathbb H$ 生成的二阶群 $\mathbb{Z}/2$.
自同构
定理 (Skolem–Noether). 中心单代数的自同构为内自同构.