陈述
半单环 $R$ 是有限个除环上的矩阵代数的积:
$$
R \simeq \prod_{i=1}^n M_{n_i}(D_i).
$$
证明
将 $R$ 视为自身上的模, 分解为单模:
$$
R \simeq \bigoplus X_i^{n_i}.
$$
由 Schur 引理,
$$
\operatorname{End}(R)\simeq \prod_{i=1}^n M_{n_i}(\operatorname{End}(X_i)),
$$
其中 $\operatorname{End}(X_i)$ 为除环.
最后, $R$ 作为模的自同态环同构于环 $R$:
$$
R\simeq \operatorname{End}(R).
$$
结论得证.