百科. 双曲面 [双曲面]

定义

双曲平面的 Minkowski 模型

在 Riemann 几何中, 双曲平面的 Minkowski 模型是 $\mathbb{R}^3$ 中的曲面 $$ x^2+y^2 - z^2 + 1 = 0, $$ 带有 Riemann 度量 $$ ds^2 = dx^2 + dy^2 - dz^2. $$

将双曲平面的 Minkowski 模型以 $(0,0,-1)$ 为中心投影到平面 $z=0$ (类比于球极投影) $$ (x,y,z)\mapsto \frac{(x,y)}{1+z}, $$ 即得到 Poincaré 双曲圆盘. 上述映射的逆映射为 $$ (x,y)\mapsto \frac{(2x,2y,1+x^2+y^2)}{1-x^2-y^2}. $$

性质

测地线

在 Minkowski 模型中, 测地线是双曲面与过原点的平面相交的曲线.