复定向上同调理论 [复定向上同调理论]

广义上同调中的定向

定义

对于环谱 $E$, 称其复可定向是指 $E^2(\mathbb{C}P^\infty)\to E^2(S^2)$ 为满射; 其复定向是 $E^2(\mathbb{C}P^\infty)$ 的元素.

性质

陈类

环谱的定向是第一陈类的推广: 环谱 $E$ 的定向给出一个同构 $E^*(\mathbb CP^\infty)\simeq E^*(*)[t](t.md)$. 由此可以定义 $E$-值第一陈类 $c_1^E=t$. $E$-值第一陈类与线丛的张量积满足 $$ c_1^E(L\otimes L') \simeq f(c_1^EL,c_1^E L'), $$ 其中 $f$ 为交换环 $R=E^{\text{even}}(*)$ 上的形式群律. 另外, 此时 $t$ 是 $\mathbb{C}P^\infty$ 上万有线丛的 Thom 类.

形式群律

$R$ 上的形式群律等同于 $\operatorname{Spec}R$ 到形式群律模叠 $\operatorname{Spec}L/G$ 的映射.

阻碍理论

复定向可视为 $\mathbb{C}P^1 \to \Sigma^{2} E$ 到 $\mathbb{C}P^\infty$ 的提升; 而每一步 $\mathbb{C}P^n$ 到 $\mathbb{C}P^{n+1}$ 的阻碍落在 $\pi_{2n+1}E$ 中.

特别地, 若 $E$ 是偶环谱, 则 $E$ 有复定向.

例

普通交换环对应的 Eilenberg–MacLane 谱都有复定向结构.

KU 带有典范的复定向, 称为 Bott 元素 $\beta = [\mathcal O (-1)] - 1$.

KO 不是复定向上同调理论.