由带状范畴染色的标架缠结 [tangle-ribbon-cat]

观念

由范畴 $\mathcal C$ 染色的标架缠结范畴 $\mathcal T (\mathcal C)$ 是 $\mathcal C$ 自由生成的带状范畴. 当 $\mathcal C$ 本身为带状范畴时, 有结构函子 $\mathcal T(\mathcal C) \to \mathcal C$.

当然, 无染色的标架缠结范畴本身可视为 $\mathcal C = 1$ 的特殊情形.

定义

设 $\mathcal C$ 为带状范畴, 定义由 $\mathcal C$ 染色的缠结范畴 $\mathcal T(\mathcal C)$ 如下:

• 其对象为 $(A,\varepsilon) := ((A_1,\varepsilon_1),\cdots,(A_n,\varepsilon_n))$, $A_i\in\mathcal C$, $\varepsilon_i \in \{\pm 1\}$,
• 态射 $(A,\varepsilon)\to (B,\varepsilon')$ 为由 $\mathcal C$ 的态射染色的标架缠结, 缠结端点处标架的方向符合 $\varepsilon,\varepsilon'$ 的符号.

范畴 $\mathcal T(\mathcal C)$ 带有直观的带状范畴结构:

• 幺半结构即为并置,
• 辫结构即为交换两股线的缠结,
• 带状结构中的扭即为扭转缠结,
• 对偶是反转正负号 $\varepsilon$.

性质

生成元

和缠结范畴类似, 染色缠结范畴由基本缠结生成.