幺半范畴是范畴的范畴中的结合代数.
定义
一般定义
幺半范畴是范畴的范畴中的结合代数. 这里的范畴既可以指 $1$-范畴, 也可以指高阶范畴.
$1$-范畴
一个幺半 $1$-范畴是一个范畴 $\mathcal C$ 配备如下结构:
- 张量积函子 $\otimes \colon \mathcal C\times\mathcal C \to\mathcal C$;
- 单位 $1\in \mathcal C$;
- 自然同构
$$
(X\otimes Y)\otimes Z\simeq X\otimes (Y\otimes Z),
$$
$$
X\otimes 1\simeq X\simeq 1\otimes X,
$$
且满足三角形等式
$$
\begin{array}{ccc}
(X\otimes 1)\otimes Y & \rightarrow & X\otimes Y \\
& \searrow & \downarrow \\
& & X\otimes (1\otimes Y)
\end{array}
$$
和五边形等式 (省略了 $\otimes$)
$$
\begin{array}{ccccc}
((XY)Z)W & \rightarrow & (X(YZ))W & \rightarrow & X((YZ)W) \\
& \searrow & & & \downarrow \\
& & (XY)(ZW) & \rightarrow & X(Y(ZW)).
\end{array}
$$
例
- $(\mathsf {Set},\times,1)$, $(\mathsf {Set},+,0)$
- $(\mathsf {Grp},\times,1)$
- $(\mathsf {Spc},\times,\text{pt})$, 其中 $\mathsf {Spc}$ 为空间的范畴, 以及 $G$-等变版本
- $(\mathsf {Spc}_*,\wedge,S^0)$
- $(\mathsf {Spc}_*,\times,\text{pt})$
- $(\mathsf {Vect}_k,\otimes,k)$
性质
与 2-范畴的关系
幺半范畴可视为只有一个对象的 2-范畴.
相关概念
积幺半范畴, 对称幺半范畴, 严格幺半范畴, 双幺半范畴