自守形式 [自守形式]

观念

“自守” (automorphic) 这个词的本义即是在某些变换下不变. 所以自守形式 (自守函数) 即是某些群作用的商空间上的形式 (函数). 不过在数论和 Langlands 纲领中, 自守形式有一个特指的含义.

定义

参考 Vincent Lafforgue 的 ICM 报告.

$\mathrm{GL}_r$

当整体域为 $\mathbb{Q}$ 时, 自守形式1是 $\mathrm{GL}_r(\mathbb{Z})\backslash\mathrm{GL}_r(\mathbb{R})$ 上的函数. 这个商空间分类的对象是 $r$ 阶自由 $\mathbb{Z}$-模 $M$ 带有同构 $M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}^r$ (换言之, 是 $\operatorname{Spec}\mathbb{Z}$ 上的 $r$ 阶向量丛带有 $\operatorname{Spec}\mathbb{R}$ 上的平凡化.)

1

此处的自守形式在有限位没有级 (level).

对于函数域 $F$, 取曲线 $X$ 上的位 $v$, 暂且设度数为 $1$. 这里 $v$ 类比于 $\mathbb{Q}$ 的 Archimedes 位. 与 $\mathbb{Q}$ 的情形类比, 考虑 $X$ 上的 $r$ 阶向量丛, 带有 $v$ 的形式邻域上的平凡化. 注意 $X$ 上 $r$ 阶向量丛的同构类集合为 $\mathrm{Bun}_{\mathrm{GL}_r}(\mathbb F_q)$ (主丛的模空间的 $\mathbb F_q$-点).