球状集 [球状集]

百科
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观念

球状集 (globular set) 是可由如下对象探测的结构:

点;
线段;
两个线段 $\bullet \rightrightarrows \bullet$ 围成的 $2$-胞腔;
…

一般范畴中的这种结构称为球状对象.

球状集可视为有向图在高维的推广.

例

球状脉

类似于奇异单纯集, 拓扑空间 $X$ 也给出一个球状集 $\Pi X$, 其 $n$-胞腔就是 $n$ 维球面到 $X$ 的连续映射.

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Joyal 范畴 Θn [Joyal范畴]

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观念

Joyal 范畴 $\Theta_n$ 的对象是探测 $(\infty,n)$-范畴的基本单元, 是单纯形在 $(\infty,n)$-范畴理论中的推广.

定义

归纳定义

记 $\Delta$ 为单纯形范畴, $\Gamma$ 为 Segal 范畴 $\Gamma$, 有典范的函子 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$; 详见 Segal 函子 $\gamma$.

定义. Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是 $n$ 个 $\Delta$ 的圈积, 带有典范函子 $|{-}|\colon \Theta_n \to \Gamma$.

该定义出自 Berger.

具体展开圈积 $\Theta_n = \Delta \wr \Theta_{n-1}$ 的定义, $\Theta_n$ 的归纳定义如下:

其对象形如 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$, 其中 $[k]\in\Delta$, $X_i\in\Theta_{n-1}$;
态射 $[k] (X_1,\cdots,X_k) \to [\ell] (Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 包括单纯形的态射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\Theta_{n-1}$ 中的态射 $X_i \to Y_j$ ($\phi(i-1) < j \leq \phi(i)$);
函子 $|{-}|\colon \Theta_n\to\Gamma$ 定义为 $|[k] (X_1,\cdots,X_k)| = \prod_{i=1}^k |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n+m \rangle$).

直观上, $\Theta_n$ 的对象 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$ 是一个充实于 $\widehat {\Theta_{n-1}}$, 以 $0,1,\cdots,k$ 为对象的范畴, 态射对象为 $\operatorname{Hom}(i-1,i)= X_i$.

如下是 $\Theta_3$ 的一个对象的示意:

这个对象写出来是

    [3] (
        [2] (
            [1] ([0]),
            [0]
        ),
        [0] (),
        [1] ([0])
    ).

$\Theta_n$ 的对象也可理解为类似树的结构, 不过与树不同的是, 每个 “结点” 被指定了一个层级 (一个自然数), 态射必须保持这个自然数.

嵌入

范畴 $\Theta_{n-1}$ 到 $\Theta_n$ 有不止一个合理的嵌入.

最符合直观的含入函子 $i_{n-1}\colon \Theta_{n-1} \to\Theta_n$ 是:

$i_0\colon \Theta_0 = \{[0]\} \hookrightarrow \Theta_1 = \Delta$;
$i_n ([k] (X_1,\cdots,X_k)) = [k] (i_{n-1}(X_1),\cdots,i_{n-1}(X_k))$.

直观上, $\Theta_{n-1}$ 的对象作为 $(n-1)$-范畴, 当然也可以视为 $n$-范畴, 只不过没有非平凡的 $n$-态射. 余极限 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 用的是这种嵌入.

另一个函子 $\sigma\colon \Theta_{n-1} \to \Theta_n$ (有时称为纬悬) 是 $$ \sigma (X) = [1] (X). $$ 直观上, 它有两个对象 $0,1$, 并且把 $X$ 的每个对象变为 $\sigma (X)$ 中的态射 $0\to 1$, 每个 $k$-态射提升为 $(k+1)$-态射.

作为球状集

范畴 $\Theta_n$ 的对象可视为球状集, 不过态射不仅有球状集映射. (事实上球状集映射恰为 $\Theta_n$ 上代数模式结构中的惰性映射.)

通过组合 $n$-圆盘

范畴 $\Theta_n$ 可通过 Joyal 的 “组合 $n$-圆盘” 直接定义.

性质

稠密性

我们知道

$n$-范畴等同于 $\mathsf{Cat}_{n-1}$-充实范畴: $\mathsf{Cat}_n \simeq \mathsf{Cat}_{n-1}\text{-}\mathsf{Cat}$;
圈积有这样的性质, 若 $\mathcal A\subset \mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr \mathcal A \subset \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 稠密;

于是归纳可以证明 $\Theta_n\subset\mathsf{Cat}_n$ 稠密.

代数模式

范畴 $\Theta_n$ 可用于定义 $n$-范畴以及 $\mathbb E_n$-代数的代数模式.

同伦假设 [notes-HH]

笔记
SimplicialCat

本文是用现代语言对 OpenAI 2026 年 10 月在 Github 仓库发布的文章的解读.

背景

Grothendieck 同伦假设说的是一类球状集上由所谓 Grothendieck 融贯子 (coherator) 定义的代数结构 ¹ 构成的 $(1,1)$-范畴在适当的局部化之下可以用来表现同伦型的 $(\infty,1)$-范畴, 即今天所谓生象的范畴 $\mathsf{Ani}$.

我们知道单纯集的范畴 $\mathsf{sSet}$ 已经可以表现 $\mathsf{Ani}$. 但 “球状集 + 融贯子” 的路线仍有一些优越性.

传统上称为弱球状 $\infty$-群胚 (weak globular $\infty$-groupoids), “弱” 的意思是其中结合律之类的 “等式” 是由更高维胞腔给出的. 人们还考虑过另一个概念 (模型), 叫做严格 (球状) $\infty$-群胚, 它不足以涵盖所有同伦型. 今天 “$\infty$-群胚” 的含义已经变化, 成为了一个模型无关的概念, 故我们放弃 “弱 … $\infty$-群胚” 这个名称, 换用更直白的说法: 由融贯子定义的代数结构.

OpenAI 的文章延续 Simon Henry 文章的思路, 解决了其中的一个引理, 从而完成了同伦假设的证明. 两篇文章都使用模型范畴语言. 但即使剥去模型, 两篇文章仍有实质内容, 本笔记的目的即是解读其中的 “模型无关” 内容.

基本概念速览

本节总结用现代语言理解文章所需的基本概念. 欲了解详细内容请点击相应链接.

Joyal 范畴 $\Theta$ 由用于探测 $(\infty,n)$-范畴的基本对象构成, 如下是其一个对象的示意.

记 $\Theta_0$ 为 $\Theta$ 中惰性映射构成的宽子范畴. 所谓惰性映射是不承载代数运算的映射, 在这里就是指 $\Theta$ 的对象作为球状集的含入映射.

一个融贯子 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 是向 $\Theta_0$ 添加一些活性映射所得的一种代数模式, 直观上是指定球状结构中 “态射” 如何 “复合”, 满足何种 “结合律” 的方式. 代数模式的基本对象为胞腔 $D_0, D_1, D_2,\cdots$. 基本对象与惰性映射构成范畴 $\Theta_{\mathrm{el}}$, 球状集正是 $\Theta_{\mathrm{el}}$ 上的预层.

定义一个融贯子 $\mathcal C$ 的模型为其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象: $$ \mathsf{Mod}(\mathcal C) := \mathsf{Seg}_{\mathcal C} (\mathsf{Set}). $$ 不同的融贯子会给出不同的模型的范畴 (作为 $(1,1)$-范畴), 而同伦假设告诉我们在适当的 “弱等价” 概念的局部化之下, 这些范畴表现同一个 $(\infty,1)$-范畴, 也就是 $\mathsf{Ani}$.

记号

对于融贯子的模型 $X$, 它首先是一个球状集; 对任何球状集有如下运算 (实际上是 “惰性” 运算):

以 $\alpha\colon u \to v$ 表示胞腔 $\alpha$ 以 $u,v$ 为起点和终点;
对于 $r$-胞腔 $\alpha$ 与 $i < r$, 以 $s_i\alpha$ 表示迭代 “起点” 运算 $s$ 得到的 $i$-胞腔 $ss\cdots s\alpha$, 类似地定义 $t_i\alpha$.

由于融贯子的定义, 可选定融贯子中的一系列填充, 使得其每个模型 $X$ 获得如下代数运算 (“活性” 运算):

对于 $X$ 的每个 $p$-胞腔 $u$ 给出一个 $(p+1)$-胞腔 $e(u)\colon u\to u$ (“恒等”), 以 $e_p^q (u)$ 表示迭代到 $q$-胞腔;
对于 $X$ 的每个 $r$-胞腔 $\alpha,\beta$ 与 $i < r$, 满足 $s_i\beta = t_i\alpha$, 给出一个 $r$-胞腔 $\alpha *_i \beta$ (“第 $i$ 方向复合”), 满足 $s_i (\alpha *_i \beta) = s_i \alpha$, $t_i (\alpha *_i \beta) = t_i \beta$;
对于 $X$ 的每个 $r$-胞腔 $\alpha$ 与 $i < r$, 给出一个 $r$-胞腔 $w_i (\alpha)$ (“第 $i$ 方向取逆”), 满足 $s_i w_i \alpha = t_i \alpha$, $t_i w_i \alpha = s_i \alpha$.

注意.

这些操作的定义涉及一个手动的、额外的选择, 因为融贯子只要求了填充存在; 这些选择不由 $\mathcal C$ 决定, 但由我们一劳永逸地手动固定.
尽管如此, 请细心的读者分辨上面所说的现象和用 Kan 复形作为生象的模型时的 “填充不唯一” 不是同一层面的现象:
- 在这里我们遇到的是理论层面的填充不唯一, 而 Kan 复形则面对模型层面的填充不唯一;
- 在我们选定了一个融贯子中的上述填充之后, 它的所有模型立刻获得了明确的填充运算.

考虑沿代数模式 $\mathcal C$ 到终模式 $1$ 的态射的左 Kan 扩张, 即余极限函子 $$ L := \operatorname{colim}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}} \colon \mathsf{Seg}_{\mathcal C}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_1(\mathsf{Ani}) = \mathsf{Ani}. $$

限制在 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象的全子范畴, 有函子 $$ \mathsf{Mod}(\mathcal C) \to \mathsf{Ani}.\,(\star) $$ 要证明同伦假设, 我们手动定义 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 上的弱等价 $\mathcal W$, 然后证明 $(\star)$ 是关于 $\mathcal W$ 的局部化: $$ \mathsf{Mod}(\mathcal C)[\mathcal W^{-1}] \overset{\simeq}{\to} \mathsf{Ani}. $$

同伦群

设 $X$ 为融贯子 $\mathcal C$ 的模型, 定义其同伦集 $\pi_r$:

对于平行 $(r-1)$-胞腔 $u,v$ 以及 $\alpha,\beta\colon u\to v$, 定义 $\alpha \sim \beta$ 表示存在 $(r+1)$-胞腔 $\gamma\colon \alpha\to\beta$. 定义 $$ \pi_r(X;u,v) := \{\alpha\colon u\to v\}/\sim\,(r\geq 1), $$ $$ \pi_0 (X) := X_0 / \sim. $$ 对 $x\in X_0$ 定义 $$ \pi_r (X,x) := \pi_r (X;e_0^{r-1}(x),e_0^{r-1}(x)). $$

容易相信, $\pi_r (X,x)$ 在 $r\geq 1$ 时有群结构.

注意, 同伦集以及其间的映射不依赖于 $\mathcal C$ 中活性运算的具体填充的选取.

定义. 令 $\mathcal W$ 为 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 中诱导所有 $\pi_0$ 与 $\pi_r (X,x)$ 双射的态射构成的类.

引理. 胞腔 $\alpha\colon u\to v$ 给出同伦集的双射 $$ \alpha * (-) \colon \pi_r (X;v,w) \to \pi_r (X; u,w). $$

引理. 对胞腔 $u$ 的顶点 $x$, 有双射 $\pi_r(X;u,u) \simeq\pi_r(X,x)$.

这两个引理的证明对于熟悉拓扑学的人都是直观的. 关键在于为了构造 “除法” 即 $\alpha * (-)$ 的逆运算, 需要

命题 (弱等价检验). 对于 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 如下条件等价.

$f\in\mathcal W$.
$f$ 在 $\pi_0$ 上为单射, 且对 $r\geq 1$ 与每对平行胞腔 $u,v$, 给出双射 $\pi_r (X;u,v) \to \pi_r (Y;fu,fv)$.
对任意 $r\geq 0$, $b\colon \partial D_r \to X$, 以及 $Y$ 中以 $fb$ 为边界的 $r$ 维胞腔 $y$, 都存在 $X$ 中以 $b$ 为边界的 $r$ 维胞腔 $x$ 以及 $Y$ 中的 $(r+1)$ 维胞腔 $fx \to y$.

证明. 使用前面两个引理, 证明不难.

称 $X\in\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 可缩是指 $(X\to 1)\in\mathcal W$.

由弱等价检验的第 3 个条件, $X$ 弱可缩当且仅当 $X$ 中任意两个平行胞腔之间都有填充.

命题. $\mathcal W$ 满足 “三中之二” 性质, 关于箭头范畴中的收缩和滤余极限封闭. 这使 $(\mathsf{Mod}(\mathcal C),\mathcal W)$ 构成了一个带弱等价的范畴.

注意, “带弱等价的范畴” 这个概念与模型范畴没有必然联系.

基本扩张

考虑模型 $X\in\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 的 $n$ 维胞腔 $D_n \to X$. 定义其基本扩张为 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 中沿 $s \colon D_n \to D_{n+1}$ 的推出 $X \to X^+$, 也即自由地添加一个平行于 $\alpha$ 的 $n$ 维胞腔 $\beta$, 以一个 $(n+1)$ 维胞腔 $\gamma\colon \alpha\to\beta$ 相连. 当然, 由于模型的代数结构, 还会生成出许许多多的胞腔, 这正是这个概念的复杂所在.

OpenAI 文章证明的主定理, 也即 Simon Henry 遗留的关键引理是如下定理.

定理. 基本扩张是弱等价.

单纯集 [单纯集]

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定义

单纯集是单纯形范畴 $\Delta$ 上的预层, 即集合范畴中的单纯对象.

例

脉

构造单纯集 (或任何范畴上的预层) 的一种重要手段是脉. 给定任意函子 $\Delta\to\mathcal C$, 将其想象为抽象的单形对应的具体的几何对象, 都可由 $\mathcal C$ 的对象造出单纯集; 当 $\mathcal C$ 具有余极限时还可构造相伴随的几何实现.

融贯子 [融贯子]

观念

一个 Grothendieck 融贯子 (coherator) 给出球状集上的一种代数结构, 使得其 ($\mathsf{Set}$-值) 模型可以给出生象的表现.

定义

回忆 Joyal 范畴 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 的对象可视为球状集, 它是若干不同维数胞腔 $D_n$ 的粘合 $$ S = D_{h_1} \sqcup_{D_{b_1}} D_{h_2} \cdots \sqcup_{D_{b_{m-1}}} D_{h_m},\ (\star) $$ 其中每个 $D_{b_i}$ 同时是 $D_{h_i}$ 和 $D_{h_{i+1}}$ 的某个较低维面, 并且只允许将一个 “出发” 面粘到一个 “到达” 面上. 如下是 $\Theta$ 的一个对象的示意.

$$ S = (D_3 \sqcup_{D_1} D_2) \sqcup_{D_0} D_1 \sqcup_{D_0} D_2. $$

(如果读者认为上述定义不够直观或不够严格, 可采用 Joyal 的等价定义, 见 Joyal 范畴.)

记 $\Theta$ 中球状映射构成的宽子范畴为 $\Theta_0$ (换言之必须将每个胞腔映射到一个同维数的胞腔; 注意球状集没有 “退化” 部分); 在 $\Theta$ 上的代数模式结构中, 这个子范畴恰为惰性映射的范畴 $\Theta_{\mathrm{int}}$.

一个融贯子是向 $\Theta_0$ 中加入一些满足特定要求的活性映射所得的代数模式. 具体要求如下.

定义. 一个 Grothendieck 融贯子 (coherator) $\mathcal C$ 是以 $\Theta_0$ 为惰性部分, 各维数胞腔为基本对象的代数模式, 满足

嵌入 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 保持形如 $(\star)$ 的余极限;
嵌入 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 分解为一座塔 $\Theta_0 = \mathcal C_0 \to \mathcal C_1 \to\cdots$, $\mathcal C = \operatorname{colim}_r \mathcal C_r$, 且每个函子 $\mathcal C_r \to \mathcal C_{r+1}$ 都是这样的操作: 对特定的平行胞腔 $f,g\colon D_{h-1} \rightrightarrows S$ (即 “出发面”, “到达面” 都相等的两个胞腔) 自由地加入一个态射 $D_h \to S$, 称为填充, 使得其 “出发面”, “到达面” 分别为 $f,g$. 我们额外要求 $\dim S \leq h$.
(可缩性) 任何两个平行胞腔最终都存在填充.

融贯子 $\mathcal C$ 的模型就是指其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象 $X\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 也就是满足如下条件的预层: $$ X(S) = \operatorname{lim}_{D_n\rightarrowtail S} X(D_n). $$

为了帮助理解, 我们写出一个可能的融贯子的前几项, 同时写出相应的在一个模型 $X$ 上的运算.

首先, $\mathcal C_0 = \Theta_0$ 是没有任何活性映射的部分, 不给出 $X$ 上的任何运算.
对于 $D_0\rightrightarrows D_0$ 加入一个填充 $\mathrm{id}\colon D_1 \to D_0$, 这是一个活性映射, 作用是给出 $X$ 上的 “对象” 的 “恒等态射” $X(D_0) \to X(D_1)$.
对于 $D_0 \rightrightarrows D_1 \sqcup_{D_0} D_1$ 加入一个填充 $\mathrm{comp}\colon D_1 \to D_1 \sqcup_{D_0} D_1$, 给出 “态射的复合” $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_1)$.
对于 $D_0 \rightrightarrows D_1$ (两个点顺序与通常相反) 加入一个填充 $\mathrm{inv}\colon D_1\to D_1$, 给出 “态射的逆” $X(D_1) \to X(D_1)$; 接着考虑两个映射 $D_1\rightrightarrows D_1$, 一个是 $D_1\overset{\mathrm{id}}{\to} D_0\to D_1$, 另一个是 $D_1 \overset{\mathrm{comp}}{\longrightarrow} D_1 \sqcup_{D_0} D_1 \overset{(\mathrm{id},\mathrm{inv})}{\longrightarrow} D_1$, 加入一个填充 $D_2 \to D_1$, 给出逆的一个运算律 $X(D_1)\to X(D_2)$, $\alpha\mapsto (\alpha\circ\alpha^{-1} \to \mathrm{id})$.
考虑交换图 $$ \begin{CD} D_1 @>>> D_1\sqcup_{D_0} D_1 \\ @VVV @VV{D_1\sqcup_{D_0} \mathrm{comp}}V \\ D_1\sqcup_{D_0} D_1 @>>{\mathrm{comp}\sqcup_{D_0} D_1}> D_1\sqcup_{D_0} D_1\sqcup_{D_0} D_1, \end{CD} $$ 我们有了两个映射 $D_1 \rightrightarrows D_1 \sqcup_{D_0}D_1 \sqcup_{D_0}D_1$, 分别给出两种复合 $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_1)$. 加入一个填充 $D_2 \to D_1 \sqcup_{D_0}D_1 \sqcup_{D_0}D_1$, 给出三个态射复合的 “结合子” $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_2)$.
…

注意这样给出的 “运算律” 永远不是等式, 而是更高阶的胞腔.

命题. 每个融贯子 $\mathcal C$ 都可视为代数模式, 其惰性映射的宽子范畴为 $\Theta_0$, 基本对象为各维数胞腔.

定义. 融贯子 $\mathcal C$ 的模型是其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象, 也即函子 $X\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 满足对任意 $S\in\mathcal C$, $$ X(S) = \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail S} X(E), $$ 其中 $E\rightarrowtail S$ 取遍 $S$ 的胞腔.

这个条件看起来就是层条件, 这使人思考范畴 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 是否为意象. 但需要注意的一点是, “所有从胞腔到形状 $S$ 的惰性映射” 可能不满足 Grothendieck 覆盖的条件 (如拉回稳定性), 故 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 不一定是意象.

性质

可表函子为模型

对于融贯子 $\mathcal C$, 可表函子 $\mathbf{y}(S)\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 总是构成 $\mathcal C$ 的模型. 这是因为所有胞腔 $E\rightarrowtail S$ 构成 $\mathcal C$ 中的余极限.

观念

例

球状脉

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