观念
代数模式 (algebraic pattern) 是 Chu–Haugseng 对如下现象的抽象:
- 一个 $\mathbb E_\infty$-空间等同于一个函子 $F\colon \mathsf{Fin}_* \to\mathsf{Ani}$, 满足 $F(\langle n \rangle) \to \prod_{i=1}^n F(\langle 1 \rangle)$ 为等价;
- 一个 $\mathbb A_\infty$-空间等同于一个函子 $F\colon \Delta^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 满足 $F([0]) = 1$ 且 $F([n])\to F([1])^{n}$ 为等价;
- 一个 $\infty$-范畴等同于一个函子 $\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 满足 $F([n])\to F([1])^{\times_{F([0])} n}$ 为等价 (见 Segal 对象), 以及某种完备性 (见完备 Segal 对象);
- $(\infty,n)$-算畴等同于函子 $\Theta_n^{\mathrm{op}}$ $\to \mathsf{Ani}$ (见 $\Theta_n$-生象), 满足某些条件;
- $\infty$-算畴等同于函子 $\Omega^{\mathrm{op}}$ $\to \mathsf{Ani}$ (见树形对象), 满足某些条件;
- 一个特定 $\infty$-算畴 $\mathcal O$ 在 $\mathsf{Ani}$ 中的代数等同于 $\mathcal O$ 的 “算子范畴” 出发的一个满足某些条件的函子.
下面我们逐层对每个例子解释代数模式的各个成分的直观.
1. 底层结构与基本对象
每种代数结构都有一种和代数无关的底层结构. 我们现在假设底层结构总可以由一些基本对象 (elementary object) 来探测, 例如
- $\mathbb E_\infty$-代数, $\mathbb A_{\infty}$-代数的底层结构就是生象, 由一个点 $[0]$ 探测;
- $\infty$-范畴的底层结构是图, 由点 $[0]$ 与有向线段 $[1]$ 探测 (注意这里有向线段 $[1]$ 没有到 $[0]$ 的映射, 意味着图的顶点处不需要有一个平凡的边, 也就是说底层结构中甚至连 “零元运算” 这样平凡的代数结构都没有, 完完全全和代数无关);
- $(\infty,n)$-范畴的底层结构由各维数的胞腔探测;
- $\infty$-算畴的底层结构由花形 (树的基本构件) 与一个只有一条边的树探测.
总之, 底层结构可视为基本对象的范畴上的预层. 但是 CH 选择将其记为 $\mathcal O^{\mathrm{el}} \to \mathsf{Ani}$, 如果尊重这一选择, 那么我们心目中基本对象的范畴就是反范畴 $(\mathcal O^{\mathrm{el}})^{\mathrm{op}}$. 但是下面为了服务我们的直观, 我们所说的态射都是反范畴 $(\mathcal O^{\mathrm{el}})^{\mathrm{op}}$ (以及 $\mathcal O^{\mathrm{op}}$) 中的态射.
2. 代数结构
为了探测底层结构之上的代数结构, 我们需要一些比基本对象更多的对象, 一些能够承载 “代数运算” 的对象, 例如
- $\mathbb E_\infty$-代数结构由 (带基点) 有限集探测;
- $\mathbb A_{\infty}$-代数和 $\infty$-范畴结构均由单纯形探测;
- $(\infty,n)$-范畴结构由 Joyal 范畴 $\Theta_n$的对象探测;
- $\infty$-算畴结构由树探测.
总之, 一个代数结构可视为一个函子 $\mathcal O\to\mathsf{Ani}$, 其中 $\mathcal O$ 包含了基本对象 $\mathcal O^{\mathrm{el}}$ 作为子范畴 (但不要求是全子范畴). 这个函子还要满足某种 Segal 条件, 直观上说的是: 当我们用更多的一些对象探测时, 探测的结果必须与基本对象的探测相容, 即
$$
F(X) \simeq \operatorname{lim}_{E\text{ 基本, }E\to X\text{ 惰性}} F(E).
$$
这里的直观是一些基本对象 $E$ 组成了 $X$, 比如
- 在 $\mathbb E_\infty$-代数的例子中, 一些单元子集组成了一个有限集;
- 在 $\infty$-范畴的例子中, 一些有向线段和点组成了一个链条;
- 在 $\infty$-算畴的例子中, 一些花形和边组成了一棵树;
注意上式中的 $E\to X$ 在 CH 文中是 $X\to E$.
3. 惰性映射与活性映射
上个公式中有一个没有解释的概念叫惰性映射 (inert morphism). 直观上, 惰性映射就是是测试对象之间纯粹由 “几何形状” 造成的映射, 是不表达任何 “代数运算” 的映射, 比如
- $\mathbb E_\infty$-代数的测试对象 $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 惰性映射 $S\to T$ 是给 $S$ 的每个元素指定 $T$ 的一个单元子集;
- $\mathbb A_\infty$-代数和 $\infty$-范畴的测试对象 $\Delta$ 中, 惰性映射就是区间的含入 $\{k\leq k+1\leq\cdots\leq l\}\subset [m]$;
- $\infty$-算畴的测试对象 $\Omega$ (树) 中, 惰性映射就是树的含入 (可由多项式函子之间的 Descartes 自然变换描述, 详见树页面).
特别地, 基本对象之间的映射都是惰性映射. 用 Chu–Haugseng 文中的记号, $\mathcal O^{\mathrm{el}}\to\mathcal O^{\mathrm{int}}$ 是全子范畴.
与惰性映射相对的是活性映射 (active morphism), 就是那些专门用来表达代数运算的映射, 比如
- $\mathbb E_\infty$-代数的测试对象 $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 活性映射 $S\to T$ 就是给 $S$ 的所有元素指定的 $T$ 的子集并在一起等于 $T$ 的映射, 其中 $\langle 1\rangle \to \langle 2\rangle$, $1\mapsto \{1,2\}$ 表达了 $\mathbb E_\infty$-代数中的乘法;
- $\mathbb A_\infty$-代数和 $\infty$-范畴的测试对象 $\Delta$ 中, 活性映射 $[n] \to [m]$ 就是保持端点的映射, 其中 $[1] \to [2], 0\mapsto 0, 1\mapsto 2$ 表达了 $\mathbb A_\infty$-代数中的乘法和 $\infty$-范畴中态射的复合;
4. 分解系统
惰性映射和活性映射构成分解系统: 测试对象之间的任何态射唯一地分解为 “先一个活性映射, 再一个惰性映射”. 注意在 CH 文中是先惰性, 再活性 (因为他们的取反).
- $\mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 态射 $f\colon S\to T$ 可分解为 $S \to \bigsqcup_s f(s)\to T$.
- $\Delta$ 中, 态射 $f\colon [n] \to [m]$ 可分解为 $[n]\to \{f(0)\leq \cdots \leq f(n)\}\hookrightarrow [m]$.
定义
模型 (Segal 对象)
给定有适当极限的范畴 $\mathcal C$, 代数模式 $\mathcal O$ 的模型 (或称 Segal 对象) 是函子 $F\colon \mathcal O \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O^{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O^{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.
代数模式的态射
定义. 代数模式之间的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 是保持活性和惰性映射, 并将基本对象映射到基本对象的函子.
定义. 代数模式之间的 Segal 态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 是满足如下条件的态射: 对任意 Segal $\mathcal P$-生象 $F\colon \mathcal P \to \mathsf{Ani}$ 以及 $X\in\mathcal O$, 典范映射
$$
\begin{aligned}
F(f(X))&\simeq \operatorname{lim}_{E\text{ 基本, }E\to f(X)\text{ 惰性}}F(E) \\
&\to \operatorname{lim}_{e\text{ 基本, }e\to X\text{ 惰性}}F(f(e))
\end{aligned}
$$
为等价.
在实践中, 上式的指标范畴之间的映射常为共首函子, 从而两极限相等.
命题. 对于代数模式之间的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 如下条件等价:
- $f$ 是 Segal 态射;
- $f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal P,\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathsf{Ani})$ 限制为函子 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani})$;
- 对任意合适的范畴 $\mathcal C$, $f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal P,\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathcal C)$ 限制为函子 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$.
命题 (自由函子).
设 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$ 是代数模式之间的 Segal 态射, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 有左伴随 $L_{\mathrm{Seg}}\circ f_!$, 其中 $L_{\mathrm{Seg}}$ 是 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)\hookrightarrow\mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathcal C)$ 的左伴随 (局部化), $f_!$ 是沿 $f$ 左 Kan 扩张.
证明. 展开定义. $\square$
在一些良好的情况下, 我们不需要这个局部化 $L_{\mathrm{Seg}}$, 甚至这个伴随是单子性的.
性质
与算畴的关系
注意算畴在这个故事中有两个层级的角色: 一个算畴既可以给出一种代数模式, 同时又是 “算畴” 这种代数模式的一个模型 (Segal 对象). 本节讲的是前一种角色, 即一个 (Lurie HA 中的) 算畴如何给出一个代数模式.
按 Lurie HA 的定义, 一个算畴是一个纤维范畴
$$
p\colon \mathcal O^{\otimes} \to \mathsf{Fin}_*,
$$
满足以下条件:
- (惰性提升) $\mathsf{Fin}_*$ 中每个惰性映射都有沿 $p$ 的水平 (coCartesian) 提升;
- (Segal 条件) 由惰性映射 $\rho^i\colon \langle n\rangle\to\langle 1\rangle$ (在前面所述的直观中, 就是将 $\{1\}$ 唯一的元素对应到单元子集 $\{i\}\subset \{1,\cdots,n\}$) 给出的态射 $\mathcal O_{\langle k \rangle}^{\otimes} \to \prod_{i=1}^k\mathcal O_{\langle 1\rangle}^{\otimes}$ 是等价;
- 对于 $X\in\mathcal O_{\langle k\rangle}^{\otimes}$, $Y\in\mathcal O_{\langle \ell\rangle}^{\otimes}$ 以及 $f\colon \langle k\rangle \to \langle \ell \rangle$,
$$
\operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \prod_{i=1}^{\ell}\operatorname{Hom}^{\rho^i f}(X,Y_i),
$$
其中 $Y_i$ 是 $Y$ 根据第二条 (Segal 条件) 分解出的第 $i$ 分量.
我们构造一个代数模式 $\mathcal O$:
- 范畴 $\mathcal O$ 就取 $\mathcal O^{\otimes}$ 本身;
- 初等对象的范畴取 $\mathcal O_{\langle 1\rangle}^{\otimes}$;
- 惰性映射就是定义中的惰性提升;
- 活性映射就是居于 $\mathsf{Fin}_*$ 中的活性映射之上的映射.
自由–遗忘伴随, 以及拉回的左伴随
设 $\mathcal O$ 为代数模式, $\mathcal C$ 为具有合适极限的范畴, 将 Segal 对象限制到基本对象可得遗忘函子
$$
U_{\mathcal O} \colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{el}},\mathcal C).
$$
当该函子有左伴随 $F_{\mathcal O}$ 时, 称之为自由 Segal $\mathcal O$-对象.
注意到 $\mathcal O^{\mathrm{int}}$ 本身也可视为一个代数模式, 其中的活性映射仅有同构 (“没有任何代数运算”), 基本对象仍为 $\mathcal O^{\mathrm{el}}$; 那么 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O^{\mathrm{int}}}(\mathcal C)$ 等价于 $\mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{el}},\mathcal C)$. 这样, 上述遗忘函子可视为特殊的拉回函子
$$
j_{\mathcal O}^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O^{\mathrm{int}}}(\mathcal C).
$$
于是, 自由函子是 “拉回的左伴随” 的特例.
命题 (CH, Proposition 8.1). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 为本质满 Segal 态射, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则
- $F\colon \mathcal P \to \mathcal C$ 是 Segal 对象当且仅当 $f^*F\colon \mathcal O\to\mathcal C$ 是 Segal 对象;
- 存在单子性伴随 $(L_{\mathrm{Seg}}\circ f_!)\dashv f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C)$.
与单子的关系
每个代数模式 $\mathcal O$ 给出底层结构 $\mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{el}},\mathsf{Ani})$ 上的一个带元数的单子.
命题 (CH, Corollary 8.2). 设 $\mathcal O$ 为代数模式, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则自由–遗忘伴随
$$
F_{\mathcal O}\colon \mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{el}},\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \colon U_{\mathcal O}
$$
是单子性的.
定义. 称满足如下条件的代数模式 $\mathcal O$ 可延拓 (extendable):
- 考虑函子 $\operatorname{Act}_{\mathcal O}\colon \mathcal O \to \mathsf{Ani}$, $\operatorname{Act}_{\mathcal O}(X)$ 为指向 $X$ 的活性映射构成的生象, 则 $\operatorname{Act}_{\mathcal O}$ 为 Segal $\mathcal O$-生象;
- 对 $\mathcal O$ 中任意活性映射 $X\to Y$, todo
命题 (CH, Proposition 8.8). 代数模式 $\mathcal O$ 可延拓当且仅当沿 $j_{\mathcal O}$ 的左 Kan 扩张限制为函子
$$
j_{\mathcal O,!}\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O^{\mathrm{int}}}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani}).
$$
推论 (CH, Proposition 8.12). 设 $\mathcal O$ 为可延拓代数模式, $\mathcal C$ 为 $\mathcal O$-可容许范畴 (某些极限对余极限的分配律), 则自由函子 $F_{\mathcal O}$ 可表达为
$$
\begin{aligned}
F_{\mathcal O}(\Phi)(X) = (j_{\mathcal O,!}i_{\mathcal O,*}\Phi) (X) = \operatorname{colim}_{Y\in\operatorname{Act}_{\mathcal O}(X)}\operatorname{lim}_{E\in\mathcal O^{\mathrm{el}}_{Y/}} \Phi(E).
\end{aligned}
$$
其中 $i_{\mathcal O}\colon \mathcal O^{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O^{\mathrm{int}}$ 为嵌入, $j_{\mathcal O}\colon \mathcal O^{\mathrm{int}} \to \mathcal O$.
命题 (CH, Proposition 10.6). 设 $\mathcal O$ 为可延拓代数模式, 则 $\mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{el}},\mathsf{Ani})$ 上的自由 Segal $\mathcal O$-生象单子 $T_{\mathcal O}$ 为多项式单子. 这里多项式单子的定义是 Descartes 单子且为局部右伴随.
这个结论保证了这些代数模式给出带元数的单子.
例
较为简单的例子在前面都已讲过.
$\mathbb E_n$-代数与 $n$-范畴的模式
这里所说的 $n$-范畴是指 $(\infty,n)$-范畴.
回忆 Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是如下归纳定义的范畴:
- $\Theta_0 = \{*\}$;
- $\Theta_1 =$ $\Delta$;
- $\Theta_n$ 的对象是 $[k](X_1,\cdots,X_k),X_i\in\Theta_{n-1}$, 而态射 $[k](X_1,\cdots,X_k) \to [\ell](Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 是一个偏序集映射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\widehat{\Theta}_{n-1}$ 中的映射 $X_j \to Y_{\phi(j-1)+1}\times\cdots\times Y_{\phi(j)}$ (按米田嵌入理解). 定义一个态射为活性 / 惰性映射当且仅当映射 $\phi$ 和所有 $X_j\to Y_i$ 为活性 / 惰性映射.
我们应该想象 $[k](X_1,\cdots,X_k),X_i\in\Theta_{n-1}$ 为一个长为 $n$ 的 $\widehat {\Theta}_{n-1}$-充实范畴, 每相邻两个对象之间的态射对象是 $\Theta_{n-1}$ 的一个对象 $X_i$, 不相邻的两个对象之间的态射对象是中间所有态射对象的乘积 (不落在 $\Theta_n$ 中, 所以用预层范畴来充实). 这样, $\Theta_n$ 的态射也就很好理解了: 它就是 $\widehat {\Theta}_{n-1}$-充实范畴之间的充实函子.
归纳地定义对象 $C_n \in \Theta_n$:
- $C_0 = * \in \Theta_0$;
- $C_1 = [1] (C_0) \in \Theta_1$, 即 $[1]\in\Delta$;
- $C_n = [1] (C_{n-1}) \in \Theta_n$.
牢记 “$n$-范畴就是充实于 $(n-1)$-范畴的范畴”, 我们应该将 $C_n$ 想象为用于探测 $n$-范畴中 $n$-态射的一个最基本的 $n$-胞腔.
令这些对象 $C_0,\cdots,C_n$ 为基本对象, 我们就得到了 $n$-范畴的底层结构: 一种没有任何代数运算的 $n$ 维 “图”.
若仅令 $C_n$ 一个对象为基本对象, 我们就得到了 $\mathbb E_n$-代数的底层结构.
另一个代数模式是 $\Delta^n$ 上的. 归纳定义函子 $\tau_n\colon \Delta^n \to \Theta_n$:
- $\tau_0\colon \Delta^0 = 1 \to 1 = \Theta_0$ 为恒等;
- $\tau_1\colon \Delta \to \Theta_1$ 为恒等;
- $\tau_n\colon \Delta^n \to \Theta_n$ 将 $([i_1],\cdots,[i_n])$ 对应到 $[i_1] (\tau_{n-1}([i_2],\cdots,[i_n]),\cdots,\tau_{n-1}([i_2],\cdots,[i_n]))$.
这给出一个 Segal 态射 $\Delta^n \to \Theta_n$.
Barwick 算子范畴
设 $\Phi$ 为一个算子范畴, 记 $\Delta_\Phi$ 为 $\Phi$-序列的范畴, 其对象为有限全序集到 $\Phi$ 的函子, 态射为交换三角, 要求某些条件.
- $\Phi = 1$ 时 $\Delta_\Phi = \Delta$;
- $\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 是 “带层级结构的树” 的范畴.
令基本对象为 $([0],*)$ 与 $([1],I\to *)$ ($*$ 表示终对象), 令态射为惰性映射当且仅当对应的 $\Delta$ 中的态射为惰性映射, 活性映射当且仅当对应的 $\Delta$ 中的态射为活性映射且自然变换为同构. 这定义了一个代数模式 $\Delta_{\Phi}$.
当 $\Phi = \mathsf{Fin}$ 时该代数模式的 Segal 对象正是 Lurie 的 $\infty$-算畴. 此外, CHH 证明了一系列等价
$$
\mathsf{Seg}_{\Omega} \overset{\simeq}{\to} \mathsf{Seg}_{\Delta_{\mathsf{Fin}}^1} \overset{\simeq}{\leftarrow}\mathsf{Seg}_{\Delta_{\mathsf{Fin}}},
$$
(其中 $\Delta_{\mathsf{Fin}}^1$ 是所有以 $*$ 结尾的 $\mathsf{Fin}$-序列的范畴)
从而说明算畴的所有定义等价.