圈积 (范畴论) [圈积]

观念

圈积是 $\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$ 上的一个幺半结构, 表现的是 $\mathsf{Cat}$ 上某种多项式的复合, 类似于对称序列的复合积.

类似于对称序列中的结合代数即为算畴, 圈积下的结合代数也可给出 $\mathsf{Cat}$ 上的单子.

定义

记 $\Gamma$ 为 Segal 范畴.

直接定义

设范畴 $\mathcal A,\mathcal B$ 带有到 $\Gamma$ 的函子 $F\colon \mathcal A\to\Gamma$, $G\colon \mathcal B\to\Gamma$.

我们定义范畴 $\mathcal A \wr \mathcal B$ 以及函子 $\mathcal A \wr \mathcal B \to \Gamma$. 范畴 $\mathcal A \wr \mathcal B$ 的对象为 $$ (a,\{b_i\}_{i\in F(a)}), $$ 态射 $(a,\{b_i\}) \to (a',\{b'_i\})$ 为 $\mathcal A$ 中的态射 $f\colon a\to a'$ 以及对每个 $j\in F(f)(i)$ 一个态射 $\eta_{ij}\colon a_i\to a'_j$.

命题. 当范畴 $\mathcal B$ 有零对象时, $$ \mathcal A \wr \mathcal B = \int_{a\in \mathcal A}\mathcal B^{F(a)}. $$

通过自由半加性范畴

首先, 对任意范畴 $\mathcal C$ 定义 $\Gamma \wr \mathcal C$ 为 $\mathcal C$ 生成的自由的 “具有零对象和有限积的范畴”. (Berger 称之为 “半加性范畴”, 但一般人们说的半加性范畴还要求余积与积等价.)

具体地,

$\Gamma \wr \mathcal C$ 的对象形如 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n)$;
态射 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n) \to \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 包含一个 $\Gamma$ 中的态射 $\phi\colon \langle n\rangle \to \langle m \rangle$ 以及 $\mathcal C$ 中的一族态射 $X_i \to Y_j$, $j\in \phi(i)$;
函子 $|{-}|\colon \Gamma \wr \mathcal C \to \Gamma$ 定义为 $|\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n)| = \prod_{i=1}^n |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n\rangle\times \langle m\rangle = \langle n+m\rangle$).

该范畴的零对象为 $\langle 0 \rangle ()$ (空列表), 两个对象 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n), \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 的积为 $\langle n+m \rangle (X_1,\cdots,X_m,Y_1,\cdots,Y_m)$.

注意 $\Gamma$ 本身也可视为 $\Gamma \wr 1$, 即一个对象生成的自由的 “具有零对象和有限积的范畴”..

然后定义一般的圈积: 对于 $\mathcal A\in\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$ 以及 $\mathcal B\in\mathsf{Cat}$ (或 $\mathcal B\in\mathsf{Cat}_{/\Gamma}$), 定义 $$ \mathcal A \wr \mathcal B = \mathcal A \times_{\Gamma} (\Gamma \wr \mathcal B). $$

性质

单位

圈积的单位为 $\{\langle 1 \rangle\}\to\Gamma$.

例

与 Segal 范畴 $\Gamma$ 圈积

与单纯形范畴圈积

对范畴 $\mathcal A$, 范畴 $\Delta \wr \mathcal A$ 的对象 $([n],(A_1,\cdots,A_n))$ 可视为某种链条状的 “充实范畴”, 其对象为 $0,1,\cdots,n$, 态射对象为 $$ \operatorname{Hom}(i-1,i) = A_i; $$ 一般地, $$ \operatorname{Hom}(i,j) = A_{i+1}\times\cdots\times A_{j}. $$

为了使这一陈述有意义, 设 $\mathcal V$ 为余完备积闭范畴, $\mathcal A\subset\mathcal V$ 为全子范畴, 则 $\Delta\wr\mathcal A$ 嵌入到 $\mathcal V$-充实范畴的范畴 $\mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$: $$ \Delta\wr\mathcal A \hookrightarrow \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}. $$

命题. 若 $\mathcal A\subset\mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr\mathcal A \hookrightarrow \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 也稠密.

证明. 约化到 $\mathcal V = \widehat {\mathcal A}$ 的情形. $\square$

迭代上述命题会给出一系列稠密性:

开始, 我们有 $1$ 在 $\mathsf{Ani}$ 中稠密;
使用上述命题 (或使用常识), 我们有 $\Delta$ 在 $\mathsf{Cat}$ 中稠密;
使用上述命题, 我们有 $\Delta \wr \Delta$ 在 $\mathsf{Cat}\text{-}\mathsf{Cat} = 2\mathsf{Cat}$ 中稠密;
…
使用上述命题, 我们有 $\Delta \wr \cdots \wr \Delta$ 在 $\mathsf{Cat}\text{-}\cdots\text{-}\mathsf{Cat} = n\mathsf{Cat}$ 中稠密.

范畴 $\Delta \wr \cdots \wr \Delta$ 就是 Joyal 范畴 $\Theta_n$.

关联页面

Joyal 范畴 Θn [Joyal范畴]

百科
SimplicialCat

观念

Joyal 范畴 $\Theta_n$ 的对象是探测 $(\infty,n)$-范畴的基本单元, 是单纯形在 $(\infty,n)$-范畴理论中的推广.

定义

归纳定义

记 $\Delta$ 为单纯形范畴, $\Gamma$ 为 Segal 范畴 $\Gamma$, 有典范的函子 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$; 详见 Segal 函子 $\gamma$.

定义. Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是 $n$ 个 $\Delta$ 的圈积, 带有典范函子 $|{-}|\colon \Theta_n \to \Gamma$.

该定义出自 Berger.

具体展开圈积 $\Theta_n = \Delta \wr \Theta_{n-1}$ 的定义, $\Theta_n$ 的归纳定义如下:

其对象形如 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$, 其中 $[k]\in\Delta$, $X_i\in\Theta_{n-1}$;
态射 $[k] (X_1,\cdots,X_k) \to [\ell] (Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 包括单纯形的态射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\Theta_{n-1}$ 中的态射 $X_i \to Y_j$ ($\phi(i-1) < j \leq \phi(i)$);
函子 $|{-}|\colon \Theta_n\to\Gamma$ 定义为 $|[k] (X_1,\cdots,X_k)| = \prod_{i=1}^k |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n+m \rangle$).

直观上, $\Theta_n$ 的对象 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$ 是一个充实于 $\widehat {\Theta_{n-1}}$, 以 $0,1,\cdots,k$ 为对象的范畴, 态射对象为 $\operatorname{Hom}(i-1,i)= X_i$.

如下是 $\Theta_3$ 的一个对象的示意:

这个对象写出来是

    [3] (
        [2] (
            [1] ([0]),
            [0]
        ),
        [0] (),
        [1] ([0])
    ).

$\Theta_n$ 的对象也可理解为类似树的结构, 不过与树不同的是, 每个 “结点” 被指定了一个层级 (一个自然数), 态射必须保持这个自然数.

嵌入

范畴 $\Theta_{n-1}$ 到 $\Theta_n$ 有不止一个合理的嵌入.

最符合直观的含入函子 $i_{n-1}\colon \Theta_{n-1} \to\Theta_n$ 是:

$i_0\colon \Theta_0 = \{[0]\} \hookrightarrow \Theta_1 = \Delta$;
$i_n ([k] (X_1,\cdots,X_k)) = [k] (i_{n-1}(X_1),\cdots,i_{n-1}(X_k))$.

直观上, $\Theta_{n-1}$ 的对象作为 $(n-1)$-范畴, 当然也可以视为 $n$-范畴, 只不过没有非平凡的 $n$-态射. 余极限 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 用的是这种嵌入.

另一个函子 $\sigma\colon \Theta_{n-1} \to \Theta_n$ (有时称为纬悬) 是 $$ \sigma (X) = [1] (X). $$ 直观上, 它有两个对象 $0,1$, 并且把 $X$ 的每个对象变为 $\sigma (X)$ 中的态射 $0\to 1$, 每个 $k$-态射提升为 $(k+1)$-态射.

作为球状集

范畴 $\Theta_n$ 的对象可视为球状集, 不过态射不仅有球状集映射. (事实上球状集映射恰为 $\Theta_n$ 上代数模式结构中的惰性映射.)

通过组合 $n$-圆盘

范畴 $\Theta_n$ 可通过 Joyal 的 “组合 $n$-圆盘” 直接定义.

性质

稠密性

我们知道

$n$-范畴等同于 $\mathsf{Cat}_{n-1}$-充实范畴: $\mathsf{Cat}_n \simeq \mathsf{Cat}_{n-1}\text{-}\mathsf{Cat}$;
圈积有这样的性质, 若 $\mathcal A\subset \mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr \mathcal A \subset \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 稠密;

于是归纳可以证明 $\Theta_n\subset\mathsf{Cat}_n$ 稠密.

代数模式

范畴 $\Theta_n$ 可用于定义 $n$-范畴以及 $\mathbb E_n$-代数的代数模式.

Barwick 算子范畴 [opecat]

笔记
SimplicialCat

Clark Barwick 文章的笔记. 将原文转写为模型无关语言.

回忆 $\infty$-范畴可由单纯形 (即一串连续的箭头) 探测, 给出单纯生象. 类似地, 算畴 (多重范畴) 可由类似于树的对象探测. 本文建立了一个统一的框架, 由算子范畴 $\Phi$ 出发构造探测用的 “$\Phi$-序列”, 分别在 $\Phi = 1$ 和 $\Phi = \mathsf{Fin}$ 的情形恢复出 $\infty$-范畴与算畴的概念.

定义. 一个算子范畴 (operator category) $\Phi$ 是满足如下条件的范畴:

$\Phi$ 具有终对象 $1$; 记 $|I|=\operatorname{Hom}(1,I)$, 称之为 $I$ 的点的集合;
态射集 $\operatorname{Hom}(I,J)$ 均为有限集;
对任意态射 $I\to J$ 以及 $j\in |J|$, 有纤维 $\{j\}\times_J I$.

定义算子范畴之间的态射为满足如下条件的函子 $G\colon \Psi\to\Phi$:

$G$ 保持终对象以及纤维操作;
对任意 $I\in\Psi$, $|I|\to |GI|$ 为满射.

记算子范畴的 $2$-范畴为 $\mathsf{Op}$.

例. 终范畴 $1$, 单纯形范畴 $\Delta$, 有限集范畴 $\mathsf{Fin}$ 均为算子范畴. $\mathsf{Fin}$ 是 $\mathsf{Op}$ 的终对象: 对任意算子范畴 $\Phi$, 有态射 $\Phi\to\mathsf{Fin}$, $I\mapsto |I|$.

定义. 对于算子范畴 $\Phi$ 与自然数 $n$, 记 $\Phi_{\leq n}$ 为其中具有不超过 $n$ 个点的对象构成的全子范畴. 这也是一个算子范畴.

定义. 对于算子范畴 $\Psi,\Phi$, 定义其圈积 $\Psi\wr\Phi$ 为如下范畴:

其对象为 $$ (I\in\Phi,(M_i\in\Psi)_{i\in |I|}), $$
态射 $(I,(M_i)) \to (J,(N_j))$ 为 $$ (\eta\colon I\to J,(\omega_j\colon M_i\to N_{\eta(i)})_{i\in |I|}). $$

定理. 圈积是 $\mathsf{Op}$ 上的一个幺半结构.

代数模式 [代数模式]

观念

代数模式 (algebraic pattern) 是 Chu–Haugseng 对如下现象的抽象:

一个 $\mathbb E_\infty$-空间等同于一个函子 $F\colon \mathsf{Fin}_* \to\mathsf{Ani}$, 满足 $F(\langle n \rangle) \to \prod_{i=1}^n F(\langle 1 \rangle)$ 为等价;
一个 $\mathbb A_\infty$-空间等同于一个函子 $F\colon \Delta^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 满足 $F([0]) = 1$ 且 $F([n])\to F([1])^{n}$ 为等价;
一个 $\infty$-范畴等同于一个函子 $\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 满足 $F([n])\to F([1])^{\times_{F([0])} n}$ 为等价 (见 Segal 对象), 以及某种完备性 (见完备 Segal 对象);
$(\infty,n)$-算畴等同于函子 $\Theta_n^{\mathrm{op}}$ $\to \mathsf{Ani}$ (见 $\Theta_n$-生象), 满足某些条件;
$\infty$-算畴等同于函子 $\Omega^{\mathrm{op}}$ $\to \mathsf{Ani}$ (见树形对象), 满足某些条件;
一个特定 $\infty$-算畴 $\mathcal O$ 在 $\mathsf{Ani}$ 中的代数等同于 $\mathcal O$ 的 “算子范畴” 出发的一个满足某些条件的函子.

下面我们逐层对每个例子解释代数模式的各个成分的直观.

1. 底层结构与基本对象

每种代数结构都有一种和代数无关的底层结构. 我们现在假设底层结构总可以由一些基本对象 (elementary object) 来探测, 例如

$\mathbb E_\infty$-代数, $\mathbb A_{\infty}$-代数的底层结构就是生象, 由一个点 $[0]$ 探测;
$\infty$-范畴的底层结构是图, 由点 $[0]$ 与有向线段 $[1]$ 探测 (注意这里有向线段 $[1]$ 没有到 $[0]$ 的映射, 意味着图的顶点处不需要有一个平凡的边, 也就是说底层结构中甚至连 “零元运算” 这样平凡的代数结构都没有, 完完全全和代数无关);
$(\infty,n)$-范畴的底层结构由各维数的胞腔探测;
$\infty$-算畴的底层结构由花形 (树的基本构件) 与一个只有一条边的树探测.

总之, 底层结构可视为基本对象的范畴上的预层. 但是 CH 选择将其记为 $\mathcal O^{\mathrm{el}} \to \mathsf{Ani}$. 为了尽量不与他们的选择产生记号冲突, 我们将用下标 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 表示我们心目中基本对象的范畴, 顺便提前说明后文所用的记号约定:

$\mathcal O_{\mathrm{el}} := (\mathcal O^{\mathrm{el}})^{\mathrm{op}}$,
$\mathcal O_{\mathrm{int}} := (\mathcal O^{\mathrm{int}})^{\mathrm{op}}$,
我们的 $\mathcal O$ 是 CH 的 $\mathcal O^{\mathrm{op}}$.

下面我们所说的惰性态射都是 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 中的态射.

这样约定的一个原因是我们具有如下直观: $\mathcal O$ 的对象是基本的几何对象, 惰性映射是几何对象的嵌入, 活性-惰性分解类似于满-单分解.

另一个原因是, 在 CH 的几乎所有例子中都有一个 $\mathrm{op}$, 唯一没有 $\mathrm{op}$ 的是 $\mathsf{Fin}_*$, 但其实它可以理解为 $\Gamma^{\mathrm{op}}$.

记号. 在整个页面中, 我们用 $\rightarrowtail$ 表示惰性映射, 用 $\leadsto$ 表示活性映射.

2. 代数结构

为了探测底层结构之上的代数结构, 我们需要一些比基本对象更多的对象, 一些能够承载 “代数运算” 的对象, 例如

$\mathbb E_\infty$-代数结构由 (带基点) 有限集探测¹;
$\mathbb A_{\infty}$-代数和 $\infty$-范畴结构均由单纯形探测;
$(\infty,n)$-范畴结构由 Joyal 范畴 $\Theta_n$的对象探测;
$\infty$-算畴结构由树探测.

注意这里若要按我们的理解, “探测对象” 的范畴实际上是 Segal 范畴 $\Gamma := \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$. 可以理解为: $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 的对象是有限集, 态射 $S\to T$ 是给 $S$ 的每个元素指定 $T$ 的一个互不相交的子集. 对此我有一种开玩笑的解释: $\langle 1\rangle$ 是一个维数无限的实心球, 以至于把它切成两块的方法本质上是唯一的; $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中的映射 $\langle 1\rangle \to \langle 2\rangle,1\mapsto\{1,2\}$ 可理解为把一个球切开变成两个球, 但由于维数无限, 那两个球的位置关系不起任何作用. 如果读者对这个解释感到莫名其妙, 可以忽略.

总之, 一个代数结构可视为一个函子 $\mathcal O^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 其中 $\mathcal O$ 包含了基本对象 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 作为子范畴 (但不要求是全子范畴). 这个函子还要满足某种 Segal 条件, 直观上说的是: 当我们用更多的一些对象探测时, 探测的结果必须与基本对象的探测相容, 即 $$ F(X) \simeq \operatorname{lim}_{E\text{ 基本, }E\to X\text{ 惰性}} F(E). $$ 这里的直观是一些基本对象 $E$ 组成了 $X$, 比如

在 $\mathbb E_\infty$-代数的例子中, 一些单元子集组成了一个有限集;
在 $\infty$-范畴的例子中, 一些有向线段和点组成了一个链条;
在 $\infty$-算畴的例子中, 一些花形和边组成了一棵树;

3. 惰性映射与活性映射

上个公式中有一个没有解释的概念叫惰性映射 (inert morphism). 直观上, 惰性映射就是是测试对象之间纯粹由 “几何形状的嵌入” 造成的映射, 是不表达任何 “代数运算” 的映射, 比如

$\mathbb E_\infty$-代数的测试对象 $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 惰性映射 $S\to T$ 是给 $S$ 的每个元素指定 $T$ 的一个单元子集;
$\mathbb A_\infty$-代数和 $\infty$-范畴的测试对象 $\Delta$ 中, 惰性映射就是区间的含入 $\{k\leq k+1\leq\cdots\leq l\}\subset [m]$;
$\infty$-算畴的测试对象 $\Omega$ (树) 中, 惰性映射就是树的含入 (可由多项式函子之间的 Descartes 自然变换描述, 详见树页面).

特别地, 基本对象之间的映射都是惰性映射, 也即 $$ \mathcal O_{\mathrm{el}}\to\mathcal O_{\mathrm{int}} $$ 是全子范畴.

我们将用 $\rightarrowtail$ 表示惰性映射.

与惰性映射相对的是活性映射 (active morphism) $\mathcal O_{\mathrm{act}}$, 就是那些专门用来表达代数运算的映射, 比如

$\mathbb E_\infty$-代数的测试对象 $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 活性映射 $S\to T$ 就是给 $S$ 的所有元素指定的 $T$ 的子集并在一起等于 $T$ 的映射, 其中 $\langle 1\rangle \to \langle 2\rangle$, $1\mapsto \{1,2\}$ 表达了 $\mathbb E_\infty$-代数中的乘法;
$\mathbb A_\infty$-代数和 $\infty$-范畴的测试对象 $\Delta$ 中, 活性映射 $[n] \to [m]$ 就是保持端点的映射, 其中 $[1] \to [2], 0\mapsto 0, 1\mapsto 2$ 表达了 $\mathbb A_\infty$-代数中的乘法和 $\infty$-范畴中态射的复合;

我们要求惰性映射和活性映射构成 $\mathcal O$ 的宽子范畴, 即包含所有对象的子范畴.

我们将用 $\leadsto$ 表示活性映射.

4. 分解系统

惰性映射和活性映射构成分解系统 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$: 测试对象之间的任何态射唯一地分解为 “先一个活性映射, 再一个惰性映射”. 注意在 CH 文中是先惰性, 再活性 (因为他们的取反).

$\mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 态射 $f\colon S\to T$ 可分解为 $S \leadsto \bigsqcup_s f(s)\rightarrowtail T$.
$\Delta$ 中, 态射 $f\colon [n] \to [m]$ 可分解为 $[n]\leadsto \{f(0)\leq \cdots \leq f(n)\}\rightarrowtail [m]$.

定义

模型 (Segal 对象)

给定有适当极限的范畴 $\mathcal C$, 代数模式 $\mathcal O$ 的模型 (或称 Segal 对象) 是函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张, 或等价地 $$ j^* F \overset{\simeq}{\longrightarrow} i_* i^* j^* F. $$ 其中 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$, $j\colon \mathcal O_{\mathrm{int}}\to\mathcal O$.

注意, 对于一个函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, Segal 条件是性质而非结构. 故 Segal 对象的范畴 $$ \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) $$ 应当定义为函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{op}},\mathcal C)$ 的全子范畴.

Ani-值 Segal 对象的范畴是如下拉回: $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Seg}_{\mathcal O} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} & \underset{i_*}{\rightarrow} & \widehat{\mathcal O_{\mathrm{int}}} \end{array} $$ 注意由于 $i_*$ 全忠实, 故 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O} \to \widehat {\mathcal O}$ 全忠实. 这个拉回图表非常重要, 另见脉性单子.

代数模式的态射

定义. 代数模式之间的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 是保持活性和惰性映射, 并将基本对象映射到基本对象的函子.

定义. 代数模式之间的 Segal 态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 是满足如下条件的态射: 对任意 Segal $\mathcal P$-生象 $F\colon \mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$ 以及 $X\in\mathcal O$, 典范映射 $$ \begin{aligned} F(f(X))&\simeq \operatorname{lim}_{E\text{ 基本, }E\rightarrowtail f(X)}F(E) \\ &\to \operatorname{lim}_{e\text{ 基本, }e\rightarrowtail X}F(f(e)) \end{aligned} $$ 为等价. 换言之, $f^*F|_{\mathcal O^{\mathrm{int}}}$ 是 $f^*F|_{\mathcal O^{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.

在实践中, 上式的指标范畴之间的映射常为共首函子, 从而两极限相等.

命题. 对于代数模式之间的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 如下条件等价:

$f$ 是 Segal 态射;
$f^*\colon \widehat {\mathcal P} \to \widehat {\mathcal O}$ 限制为函子 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani})$;
对任意合适的范畴 $\mathcal C$, $f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal P^{\mathrm{op}},\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{op}},\mathcal C)$ 限制为函子 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$.

命题 (自由函子). 设 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$ 是代数模式之间的 Segal 态射, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 有左伴随 $L_{\mathrm{Seg}}\circ f_!$, 其中 $L_{\mathrm{Seg}}$ 是 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)\hookrightarrow\mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathcal C)$ 的左伴随 (局部化), $f_!$ 是沿 $f$ 左 Kan 扩张.

证明. 展开定义. $\square$

在一些良好的情况下, 我们不需要这个局部化 $L_{\mathrm{Seg}}$, 甚至这个伴随是单子性的.

积性模式与可充实模式

定义. 积性模式 (Cartesian pattern) 是指一个代数模式 $\mathcal O$ 带有态射 $|\{-\}|\colon \mathcal O \to \Gamma^\flat$, 满足对任意 $X\in\mathcal O_{\mathrm{int}}$, 典范的函子 $$ (\mathcal O_{\mathrm{el}})_{/X} \to (\Gamma^\flat_{\mathrm{el}})_{/|X|} $$ 为等价. 这里 $(\mathcal O_{\mathrm{el}})_{/X}$ 指的是 $\mathcal O$ 的基本对象到 $X$ 的惰性映射的范畴. 注意到右边是一个 $|X|$ 元离散集合. 因此积性模式就是每个对象包含的基本对象都构成离散有限集的模式, 这导致它的 Segal 对象在探测对象上的取值等于其在基本对象上的取值的积.

例. Segal 态射 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$ 是积性模式.

定义. 可充实模式 (enrichable pattern) todo

$\mathcal O$-幺半范畴

积性代数模式 $\mathcal O$ 在范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的 Segal 对象称为 $\mathcal O$-幺半范畴. 对于 $\mathcal O$-幺半范畴 $\mathcal C$, 定义 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal O$-代数为 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Cat})$ 中的态射 $1 \to \mathcal C$. 记 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal O$-代数的范畴为 $\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$.

对于积性模式的态射 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$ 以及 $\mathcal P$-幺半范畴 $\mathcal C$, 也可以谈论 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal O$-代数, 方法是先将 $\mathcal C$ 沿着 $f$ 拉回为 $\mathcal O$-幺半范畴. 记 $$ \mathsf{Alg}_{\mathcal O / \mathcal P}(\mathcal C) = \mathsf{Alg}_{\mathcal O}(f^*\mathcal C). $$

性质

与算畴的关系; 弱 Segal 纤维化

注意算畴在这个故事中有两个层级的角色: 一个算畴既可以给出一种代数模式, 同时又是 “算畴” 这种代数模式的一个模型 (Segal 对象). 本节讲的是前一种角色, 即一个 (Lurie HA 中的) 算畴如何给出一个代数模式.

我们回顾 Lurie HA 的定义, 但转换为我们的直观 (注意很多地方方向是反的): 一个算畴是一个纤维范畴 $$ p\colon \mathcal O \to \Gamma, $$ 记 $p^{-1}(\langle n\rangle)$ 为 $\mathcal O_{\langle n \rangle}$, 满足以下条件:

(惰性提升) $\Gamma$ 中每个惰性映射 $\langle n\rangle \rightarrowtail \langle m \rangle$ 都有沿 $p$ 的水平 (Cartesian) 提升, 且给出反向的函子 $\mathcal O_{\langle m \rangle} \to \mathcal O_{\langle n \rangle}$;
(Segal 条件) 由惰性映射 $\rho_i\colon \langle 1\rangle \rightarrowtail \langle n\rangle$ (将 $\{1\}$ 唯一的元素对应到单元子集 $\{i\}\subset \{1,\cdots,n\}$) 给出的态射 $\mathcal O_{\langle n \rangle} \to \prod_{i=1}^n \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 是等价;
对于 $X\in\mathcal O_{\langle k\rangle}$, $Y\in\mathcal O_{\langle \ell\rangle}$ 以及 $\Gamma$ 中任意态射 $f\colon \langle k\rangle \to \langle \ell \rangle$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \prod_{i=1}^{k}\operatorname{Hom}^{f\rho_i}(X_i,Y), $$ 其中 $X_i$ 是 $X$ 根据第二条 (Segal 条件) 分解出的第 $i$ 分量.

我们构造 $\mathcal O$ 上的一个代数模式结构:

基本对象的范畴取 $\mathcal O_{\langle 1\rangle}$;
惰性映射就是定义中的惰性提升;
活性映射就是居于 $\Gamma$ 中的活性映射之上的映射.

上述结构的底不必为 $\Gamma$, 而是可以推广到任意代数模式上. 这说明 Lurie $\infty$-算畴不过是如下 “弱 Segal 纤维化” 的概念在 $\Gamma$ 上的特例.

定义. 设 $\mathcal O$ 为代数模式, 定义弱 Segal $\mathcal O$-纤维化为函子 $p\colon \mathcal E \to \mathcal O$, 满足

$\mathcal O$ 中的惰性映射存在水平提升 (换言之, 有函子 $\mathcal O_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, $N\mapsto \mathcal E_N$);
对任意 $N\in\mathcal O$, 函子 $\mathcal E_N \to \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail N}\mathcal E_{E}$ 为等价;
给定 $X \in \mathcal E_N$, $Y\in\mathcal E_M$ 以及 $\mathcal O$ 中的态射 $f\colon N\to M$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \operatorname{lim}_{g\colon E\rightarrowtail N}\operatorname{Hom}^{fg}(g^*X,Y). $$

自由–遗忘伴随, 以及拉回的左伴随

设 $\mathcal O$ 为代数模式, $\mathcal C$ 为具有合适极限的范畴, 将 Segal 对象限制到基本对象可得遗忘函子 $$ U_{\mathcal O} \colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}},\mathcal C). $$ 当该函子有左伴随 $F_{\mathcal O}$ 时, 称之为自由 Segal $\mathcal O$-对象.

注意到 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 本身也可视为一个代数模式, 其中的活性映射仅有同构 (“没有任何代数运算”), 基本对象仍为 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$; 那么 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}(\mathcal C)$ 等价于 $\mathsf{Fun}(\mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}},\mathcal C)$. 这样, 上述遗忘函子可视为特殊的拉回函子 $$ j_{\mathcal O}^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}(\mathcal C). $$ 于是, 自由函子是 “拉回的左伴随” 的特例.

命题 (CH, Proposition 8.1). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 为本质满 Segal 态射, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则

$F\colon \mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$ 是 Segal 对象当且仅当 $f^*F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 是 Segal 对象;
存在单子性伴随 $(L_{\mathrm{Seg}}\circ f_!)\dashv f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C)$.

定义. 对于代数模式的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 称其有唯一惰性提升是指如下两个等价条件成立:

对任意 $o\in\mathcal O$, 每个指向 $f(o)$ 的惰性映射唯一地提升为指向 $o$ 的惰性映射;
对任意 $p\in\mathcal P$, 所有 $p$ 到 $f(o)$ 的活性映射的范畴 $\{p \leadsto f(o)\}$ 在所有映射的范畴 $\{p\to f(o)\}$ 中为共首子范畴;
Beck–Chevalley 基变换 …?

命题 (CH, Corollary 7.4). 若 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 有唯一惰性提升, 则有函子 $\mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, $p\mapsto\{p\leadsto f(o)\}$.

注 (CH, Remark 7.6). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 有唯一惰性提升, 对任意活性映射 $\phi\colon p \leadsto f(o)$, 可定义一个函子 $$ \{p' \rightarrowtail p\} \to \Big\{ \begin{array}{ccc} p' & \leadsto & f(o') \\ \downarrow & & \downarrow \\ p & \underset{\phi}{\leadsto} & f(o) \end{array} \Big\} \to \{o'\rightarrowtail o\}. $$ 其中第一步是对于 $\alpha\colon p' \rightarrowtail p$, 考虑 $\phi\alpha\colon p'\to f(o)$ 的活性-惰性分解 $p'\leadsto f(o')\rightarrowtail f(o)$. 这也是来自于上个命题中的函子 $\mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$. 后文中为了简明符号, 所有的 $o'$ 都表示这一过程中的对象.

将上述观察应用到基本对象 $e\rightarrowtail p$, 再复合 $$ \{o' \rightarrowtail o\} \to \mathsf{Cat}, (o'\rightarrowtail o)\mapsto \{e'\rightarrowtail o'\}, $$ 我们得到一个函子 $$ \{e\rightarrowtail p\} \to\mathsf{Cat}, (\alpha\colon e\rightarrowtail p)\mapsto\{e'\rightarrowtail o'\}, $$ 粗略地说, 对 $\mathcal P$ 的每个对象的每个基本成分, 这个函子给出 $\mathcal O$ 中相关的基本成分的范畴.

下面的定义是 CH 的重要概念, 但其本身不提供直观, 因为这个定义只是总结了左 Kan 扩张要保持 Segal 条件所需的计算上的便利条件. 在实践中, 这些条件常常满足.

定义. 代数模式的可延拓态射 (extendable morphism) 是满足如下条件的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$:

$f$ 有唯一惰性提升;
对任意 $p\in \mathcal P$, 记 $\mathcal L_p = \operatorname{lim}_{e\to p}\{e\leadsto f(o)\}$, 则 $\{p\leadsto f(o)\} \to \mathcal L_p$ 为共首函子.
对任意活性映射 $\phi\colon p\leadsto f(o)$, 任意函子 $F\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, $$ \operatorname{lim}_{e\to o}F(e) \simeq \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p, e'\to o'}F(e'). $$

命题 (CH, Corollary 7.13). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 为代数模式的可延拓态射, $\mathcal C$ 为 $f$-可容许范畴 (我们等到需要的时候再来定义这个条件), 则左 Kan 扩张限制为函子 $$ f_!\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C). $$

证明. $$ \begin{aligned} f_!F(p) &= \operatorname{colim}_{p\to f(o)} F(o)\\ &=\operatorname{colim}_{p\leadsto f(o)} F(o)\ (\star)\\ &=\operatorname{colim}_{p\leadsto f(o)} \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}F(o')\ (\heartsuit)\\ &=\operatorname{colim}_{\mathcal L_p}\operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}F(o')\ (\spadesuit)\\ &=\operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}\operatorname{colim}_{e\leadsto f(o)} F(o)\ (\dagger)\\ &=\operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}(f_! F)(e). \end{aligned} $$ 其中

$(\star)$ 是因为 $\{p \leadsto f(o)\}$ 在 $\{p\to f(o)\}$ 中为共首子范畴, 但此处余极限的指标范畴是这两个范畴的反范畴, 共首变为共尾;
$(\heartsuit)$ 是因为可延拓性的第三个条件;
$(\spadesuit)$ 是因为可延拓性的第二个条件;
$(\dagger)$ 就是 $\mathcal C$ 的可容许条件, 它是一种极限对余极限分配的条件.

当然, 上述命题之所以有意义, 是因为实践中我们真的可以验证这一堆条件.

例. 对称算畴作为 $\Gamma^\flat$ 上的弱 Segal 纤维化, 任意两个对称算畴之间的态射都是可延拓的. 见算畴左 Kan 扩张.

对于 $F\in\widehat {\mathcal O_{\langle 1 \rangle}^{\simeq}}$ 以及 $X\in\mathcal O_{\langle 1 \rangle}$, 自由 $\mathcal O$-代数单子 $T_{\mathcal O}$ 给出 $$ \begin{aligned} T_{\mathcal O}F(X) &=\operatorname{colim}_{X\leadsto Y} F(Y)\\ &=\bigsqcup_{n\geq 0}\operatorname{colim}_{X\leadsto (Y_1,\cdots,Y_n)} F(Y_1) \times \cdots \times F(Y_n). \end{aligned} $$ 对于单色算畴, $\mathcal O_{\langle 1 \rangle}^{\simeq} = \{*\}$, 那么我们得到经典的自由 $\mathcal O$-代数单子公式 $$ T_{\mathcal O}C = \bigsqcup_{n\geq 0} \operatorname{colim}_{\mathbf{B}S_n} \mathcal O (n)\times C^n = \bigsqcup_{n\geq 0} \mathcal O(n)\times_{S_n} C^n, $$ 其中 $\mathcal O (n)$ 是 $n$ 元运算的空间, 是 $\{*\leadsto (*,\cdots,*)\} \to \{\langle 1\rangle\leadsto \langle n \rangle\} = \mathbf{B}S_n$ 的纤维, 其上自然带有 $S_n$-作用.

拉回的右伴随

定义. 对于代数模式的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 称其有唯一活性提升是指如下两个等价条件成立:

对任意 $o\in\mathcal O$, 每个由 $f(o)$ 出发的活性映射唯一地提升为 $o$ 出发的活性映射;
对任意 $p\in\mathcal P$, 所有 $f(o)$ 到 $p$ 的惰性映射的范畴 $\{f(o)\rightarrowtail p\}$ 在所有映射的范畴 $\{f(o)\to p\}$ 中为共尾子范畴;
Beck–Chevalley 基变换 $j_{\mathcal P}^*f_* \to f_*j_{\mathcal O}^*$ 为等价.

这两个条件等价是分解系统的一般性质.

命题 (CH, Proposition 6.3). 设 $f\colon \mathcal O\to \mathcal P$ 为代数模式的态射, $\mathcal C$ 为具有合适极限的范畴, 则右 Kan 扩张 $f_*\colon \widehat {\mathcal O} \to \widehat {\mathcal P}$ 限制为函子 $$ f_*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C). $$

代数模式给出单子

每个代数模式 $\mathcal O$ 给出底层结构 $\widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 上的一个带元数的单子.

命题 (CH, Corollary 8.2). 设 $\mathcal O$ 为代数模式, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则自由–遗忘伴随 $$ F_{\mathcal O}\colon \mathsf{Fun}(\mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}},\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \colon U_{\mathcal O} $$ 是单子性的.

定义 (CH, Definition 8.5). 若代数模式的态射 $\mathcal O_{\mathrm{int}} \to \mathcal O$ 是可延拓的, 则称 $\mathcal O$ 可延拓 (extendable). 具体地, 这等同于如下条件:

考虑函子 $\operatorname{Act}_{\mathcal O}\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, $\operatorname{Act}_{\mathcal O}(X)$ 为 $X$ 发出的活性映射构成的生象, 则 $\operatorname{Act}_{\mathcal O}$ 为 Segal $\mathcal O$-生象;
对 $\mathcal O$ 中任意活性映射 $o''\leadsto o$, 任意函子 $F\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, $$ \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail o} F(e) \simeq \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail o'',e'\to o'}F(e'). $$ 这里 $e\rightarrowtail o'' \leadsto o$ 的活性-惰性分解是 $e\leadsto o'\rightarrowtail o$.

特别地, 第二个条件推出 “广义 Segal 条件”: 对于 Segal 对象 $\Phi\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$ 与任意活性映射 $o''\leadsto o$, $$ \Phi(o) \simeq \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail o''} F(o'). $$

命题 (CH, Proposition 8.8). 代数模式 $\mathcal O$ 可延拓当且仅当沿 $j_{\mathcal O}$ 的左 Kan 扩张限制为函子 $$ j_{\mathcal O,!}\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani}). $$

推论 (CH, Proposition 8.12). 设 $\mathcal O$ 为可延拓代数模式, $\mathcal C$ 为 $\mathcal O$-可容许范畴 (某些极限对余极限的分配律), 则自由函子 $F_{\mathcal O}\colon \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} \to\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani})$ 可表达为 $$ \begin{aligned} F_{\mathcal O}(\Phi)(X) &= (j_{\mathcal O,!}i_{\mathcal O,*}\Phi) (X) \\ &=\int_{Y\in\mathcal O_{\mathrm{int}}} \{X\leadsto Y\} \times \int_{E\in\mathcal O_{\mathrm{el}}}^*\Phi(E)^{\{E\rightarrowtail Y\}} \\&= \operatorname{colim}_{Y\in\operatorname{Act}_{\mathcal O}(X)}\operatorname{lim}_{E\rightarrowtail Y} \Phi(E). \end{aligned} $$ 其中 $i_{\mathcal O}\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 为基本对象的全子范畴, $j_{\mathcal O}\colon \mathcal O_{\mathrm{int}} \to \mathcal O$ 为惰性映射的宽子范畴.

命题 (CH, Proposition 10.6). 设 $\mathcal O$ 为可延拓代数模式, 则 $\widehat{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 上的自由 Segal $\mathcal O$-生象单子 $T_{\mathcal O}$ 为多项式单子. 这里多项式单子的定义是 Descartes 单子且为局部右伴随.

这个结论保证了这些代数模式给出带元数的单子.

单子给出代数模式

设 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 为可表现范畴之间的局部右伴随函子, 即 $F_{/*}\colon \mathcal C \to \mathcal D_{F(*)}$ 有左伴随 $L\colon \mathcal D_{/F(*)} \to \mathcal C$.

称 $\mathcal D$ 中形如 $d \to F(L(d))$ 的态射为一般映射 (generic map). 很明显, $\mathcal D$ 中的任何态射 $d\to F(c)$ 唯一地分解为 “先一个一般映射, 再一个 $F$ 的像中的映射 (称为自由映射)”: $$ d \to F(L(d)) \to F(c), $$ 称之为一般–自由分解.

设 $\mathcal J$ 为小范畴, $T$ 为 $\widehat {\mathcal J}$ 上的多项式单子. 定义

$\mathcal U(T)$ 为 $\widehat {\mathcal J}$ 中由存在一般态射 $j \to Tx$ ($j\in \mathcal J$ 经米田嵌入) 的对象 $x$ 构成的全子范畴;
$\mathcal W(T)$ 为 $\mathcal U(T)$ 的对象生成的自由 $T$-代数构成的 $\mathsf{Alg}_T(\widehat {\mathcal J})$ 的全子范畴.

事实上 $T$ 是 $\widehat {\mathcal J}$ 上以 $\mathcal U(T)$ 为元数的单子. 脉定理告诉我们 $$ \begin{CD} \mathsf{Alg}_T(\widehat {\mathcal J}) @>{\nu_{\mathcal W(T)}}>> \widehat {\mathcal W(T)} \\ @V{U_T}VV @VV{j_T^*}V \\ \widehat {\mathcal J} @>>{\nu_{\mathcal U(T)}}> \widehat {\mathcal U(T)} \end{CD} $$ 满足 Beck–Chevalley 条件 $$ j_{T,!}\nu_{\mathcal U(T)} \overset{\simeq}{\longrightarrow} \nu_{\mathcal W(T)} F_T, $$ 且脉函子 $\nu_{\mathcal W(T)}$ 全忠实.

CH 说明 $\mathcal W(T)$ 上有一个可延拓的代数模式结构, … todo

极限和余极限

命题. 代数模式的范畴具有极限和滤余极限. 具体地, 记 $$ \mathsf{OFS}\hookrightarrow\mathsf{Fun}(\Lambda_2^2,\mathsf{Cat}) $$ 为带正交分解系的范畴的范畴, 代数模式的范畴为 $$ \mathsf{AlgPatt} \hookrightarrow \mathsf{OFS}\times_{\mathsf{Cat}}\mathsf{Ar}(\mathsf{Cat}) $$ $$ =\{\big((\mathcal C,\mathcal C_{\mathrm{int}},\mathcal C_{\mathrm{\mathrm{act}}})\in\mathsf{OFS},\mathcal C_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal C_{\mathrm{int}}\big)\}. $$ (以上 $\hookrightarrow$ 均表示全忠实函子.) 那么 $\mathsf{AlgPatt}$ 关于 $\mathsf{OFS}\times_{\mathsf{Cat}}\mathsf{Ar}(\mathsf{Cat})$ 中的极限和滤余极限封闭.

下面我们给出一些代数模式的极限和滤余极限的例子.

终模式

代数模式范畴的终对象 $1$ 是由终范畴 $1$, 其上唯一的分解系统 (平凡分解系统) 与全子范畴 $\mathrm{id}\colon 1_{\mathrm{el}}=1\to 1$ 构成的. Segal 条件平凡; 对任意积幺半范畴 $\mathcal C$, $\mathsf{Seg}_1(\mathcal C) \simeq \mathcal C$.

对任意代数模式 $\mathcal O$, 有唯一的态射 $p\colon \mathcal O \to 1$. 拉回 $p^* \colon \mathcal C \to \mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathcal C)$ 给出常值函子; 它落在 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 中当且仅当如下条件成立:

对任意 $o\in\mathcal O$, 范畴 $\{e \rightarrowtail o\}$ 弱可缩.

这个条件成立的一个重要例子是 $\mathcal O = \Delta^{\natural}$. 对单纯形 $[n]\in\Delta$, 其基本对象的范畴为 “之字形” $0 \to \{0\to 1\} \leftarrow 1 \to \{1\to 2\} \cdots\leftarrow n$, 显然为弱可缩范畴.

代数模式的乘积

代数模式具有有限积 $\mathcal O\times\mathcal P$, 其中基本对象的子范畴为 $\mathcal O_{\mathrm{el}}\times\mathcal P_{\mathrm{el}}$, 惰性映射构成的子范畴为 $\mathcal O_{\mathrm{int}}\times\mathcal P_{\mathrm{int}}$, 且满足 $$ \mathsf{Seg}_{\mathcal O \times \mathcal P} (\mathcal C) \simeq \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C)). $$ 具体地, 函子 $F\colon \mathcal O\times\mathcal P \to\mathcal C$ 为 Segal 对象, 当且仅当 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}\times\mathcal P_{\mathrm{int}}}$ 同构于 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}\times\mathcal P_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张; 注意这个右 Kan 扩张有两种路径, 最终结果一致.

代数模式的拉回

范畴 $\Delta$ 上有两个模式, 记只有一个基本对象的为 $\Delta^\flat$, 两个基本对象的为 $\Delta^{\natural}$. 类似地, 范畴 $\Gamma$ 上有两个模式 $\Gamma^\flat$, $\Gamma^\natural$. 有代数模式的拉回图 $$ \begin{CD} \Delta^{\flat} @>{\gamma}>> \Gamma^\flat \\ @VVV @VVV \\ \Delta^\natural @>>{\gamma}> \Gamma^\natural. \end{CD} $$

代数模式的序列余极限

考虑序列余极限 $$ \Theta^\natural := \operatorname{colim}_n \Theta_n^\natural, $$ 有 $$ \mathsf{Seg}_{\Theta^\natural}(\mathsf{Ani}) = \operatorname{lim}_n\mathsf{Seg}_{\Theta_n^\natural}(\mathsf{Ani}), $$ 故 $\mathsf{Seg}_{\Theta^\natural}(\mathsf{Ani})$ 的对象可视为 “$(\infty ,\infty )$-范畴” 的模型, 函子 $\mathsf{Seg}_{\Theta^\natural}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\Theta_n^\natural}(\mathsf{Ani})$ 给出其底层 $(\infty,n)$-范畴.

模式的圈积

定义 (模式与 $\Gamma$ 的圈积). 对于代数模式 $\mathcal O$, 定义一个模式 $\Gamma \wr \mathcal O$ 如下:

范畴 $\Gamma \wr \mathcal O$ 即是 $\Gamma$ 与范畴 $\mathcal O$ 的圈积; 具体地, 其对象形如 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n)$, 态射 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n) \to \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 包含一个 $\Gamma$ 中的态射 $\phi\colon \langle n\rangle \to \langle m \rangle$ 以及 $\mathcal O$ 中的一族态射 $X_i \to Y_j$, $j\in \phi(i)$.
代数模式 $\Gamma \wr \mathcal O$ 的基本对象定义为 $\langle 0 \rangle ()$ 以及 $\langle 1 \rangle (E)$, $E\in\mathcal O^{\mathrm{el}}$.
态射 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n) \to \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 为惰性 (活性) 当且仅当每个成分 $\phi\colon \langle n\rangle \to \langle m \rangle$ 以及 $X_i \to Y_j$ 均为惰性 (活性).

一般地, 对于 $\Gamma^{\natural}$ 上的代数模式 $\mathcal O$ 以及任意代数模式 $\mathcal P$, 其圈积定义为 $$ \mathcal O \wr \mathcal P = \mathcal O \times_{\Gamma^{\natural}}(\Gamma\wr\mathcal P). $$

例

较为简单的例子在前面都已讲过.

Segal 态射 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$

结合代数的模式到交换代数的模式有一个重要的态射 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$.

函子层面, $\gamma$ 将 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\langle n \rangle\in\Gamma$, 详见 Segal 函子 $\gamma$. 唯一的基本对象 $[1]$ 对应基本对象 $\langle 1\rangle$.

态射 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ 对合适的范畴给出伴随 $$ \gamma_!\dashv\gamma^*\colon \mathsf{Seg}_{\Delta}(\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\Gamma}(\mathcal C), $$ $$ \gamma_! A (\langle n \rangle) = \operatorname{colim}_{\langle n\rangle \to \langle m \rangle} A([m]). $$ 其中

右伴随 $\gamma^*$ 给出交换代数到结合代数的遗忘.
左伴随 $\gamma_!$ 在局部化后给出结合代数的交换化. 但是这样无法得到交换化的显式表达式. 如果将结合代数的模式替换为 $\mathsf{Assoc} \to \Gamma$ (下文), 就能得到一个不需要局部化的左伴随, 从而给出显式的交换化.

结合算畴作为代数模式

结合算畴 $\mathsf{Assoc}$ 作为 $\Gamma$ 上的代数模式:

对象为有限集 $\langle n\rangle$;
态射 $S \to T$ 将每个元素 $s\in T$ 对应到一个子集 $X_s$ 并赋予 $X_s$ 一个全序;
基本对象为 $\langle 1 \rangle$;
惰性和活性映射都与 $\Gamma$ 一致.

态射 $U\colon \mathsf{Assoc} \to \Gamma$ 是可延拓态射, 其左 Kan 扩张保持 Segal 条件. 结合代数的交换化由左 Kan 扩张的公式给出: $$ U_! A(\langle n \rangle) = \operatorname{colim}_{\langle n \rangle \to \langle m \rangle} A(\langle m \rangle). $$

交换代数中的交换代数

范畴 $\Gamma$ 有个乘法 $\land\colon \Gamma\times \Gamma \to \Gamma$, $\langle n\rangle \land \langle m \rangle = \langle nm \rangle$. (注意这不是 $\Gamma$ 中的范畴论乘积.) 由代数模式乘积的性质, 有函子 $$ \mathsf{Seg}_{\Gamma}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\Gamma} (\mathsf{Seg}_{\Gamma} (\mathcal C)). $$

$\mathbb E_n$-代数与 $n$-范畴的模式

这里所说的 $n$-范畴是指 $(\infty,n)$-范畴.

回忆 Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是如下归纳定义的范畴:

$\Theta_0 = \{*\}$;
$\Theta_1 =$ $\Delta$;
$\Theta_n$ 的对象是 $[k](X_1,\cdots,X_k),X_i\in\Theta_{n-1}$, 而态射 $[k](X_1,\cdots,X_k) \to [\ell](Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 是一个偏序集映射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\widehat{\Theta}_{n-1}$ 中的映射 $X_j \to Y_{\phi(j-1)+1}\times\cdots\times Y_{\phi(j)}$ (按米田嵌入理解). 定义一个态射为活性 / 惰性映射当且仅当映射 $\phi$ 和所有 $X_j\to Y_i$ 为活性 / 惰性映射.

我们应该想象 $[k](X_1,\cdots,X_k),X_i\in\Theta_{n-1}$ 为一个长为 $n$ 的 $\widehat {\Theta}_{n-1}$-充实范畴, 每相邻两个对象之间的态射对象是 $\Theta_{n-1}$ 的一个对象 $X_i$, 不相邻的两个对象之间的态射对象是中间所有态射对象的乘积 (不落在 $\Theta_n$ 中, 所以用预层范畴来充实). 这样, $\Theta_n$ 的态射也就很好理解了: 它就是 $\widehat {\Theta}_{n-1}$-充实范畴之间的充实函子.

归纳地定义对象 $C_n \in \Theta_n$:

$C_0 = * \in \Theta_0$;
$C_1 = [1] (C_0) \in \Theta_1$, 即 $[1]\in\Delta$;
$C_n = [1] (C_{n-1}) \in \Theta_n$.

牢记 “$n$-范畴就是充实于 $(n-1)$-范畴的范畴”, 我们应该将 $C_n$ 想象为用于探测 $n$-范畴中 $n$-态射的一个最基本的 $n$-胞腔.

令这些对象 $C_0,\cdots,C_n$ 为基本对象, 我们就得到了 $n$-范畴的底层结构: 一种没有任何代数运算的 $n$ 维 “图”.

若仅令 $C_n$ 一个对象为基本对象, 我们就得到了 $\mathbb E_n$-代数的底层结构.

另一个代数模式是 $\Delta^n$ 上的. 代数模式 $\Delta^n$ 就是 $\Delta$ 的 $n$ 次积 (代数模式的范畴具有有限积),

作为 $\mathbb E_n$-代数的模式时, 其唯一的基本对象为 $([1],\cdots,[1])$,
作为 $(\infty,n)$-范畴的模式时, 其基本对象为 $([i_1],\cdots,[i_n])\,(i_1,\cdots,i_n \in \{0,1\})$. (准确地说这样定义的 Segal 对象是 $n$ 重 Segal 生象, 还不是 $(\infty,n)$-范畴, 需要加一些完备性和退化性.)

$\Delta^n$ 中的惰性映射就是每个分量都惰性的映射.

由代数模式乘积的性质, $$ \mathsf{Seg}_{\Delta^n}(\mathcal C) \simeq \mathsf{Seg}_{\Delta}(\mathsf{Seg}_{\Delta}(\cdots\mathsf{Seg}_{\Delta}(\mathcal C)\cdots)). $$ 因此当 $\Delta$ 表示 $\mathbb E_1$-代数的模式时, $\Delta^n$ 是 $\mathbb E_n$-代数的模式.

归纳定义函子 $\tau_n\colon \Delta^n \to \Theta_n$:

$\tau_0\colon \Delta^0 = 1 \to 1 = \Theta_0$ 为恒等;
$\tau_1\colon \Delta \to \Theta_1$ 为恒等;
$\tau_n\colon \Delta^n \to \Theta_n$ 将 $([i_1],\cdots,[i_n])$ 对应到 $[i_1] (\tau_{n-1}([i_2],\cdots,[i_n]),\cdots,\tau_{n-1}([i_2],\cdots,[i_n]))$.

这给出一个 Segal 态射 $\Delta^n \to \Theta_n$. 要验证它是 Segal 态射, 只需验证函子 $$ \Delta^{n,\mathrm{el}}_{/X} \to (\Theta_n^{\mathrm{el}})_{/\tau_n X} $$ 是共首函子, 而这又等价于对任意基本对象 $E\in\Theta_n$ 到 $\tau_n X$ 的惰性映射 $E\to \tau_n X$, 范畴 $\{e\in\Delta^n \text{ 基本, }e\to X\text{ 惰性, }\tau_n e\to E\}$ 弱可缩. (下略)

直观上, Segal 态射 $\Delta^n \to \Theta_n$ 给出了 $(\infty,n)$-范畴的 “$n$ 个方向的复合”.

Barwick 算子范畴

设 $\Phi$ 为一个算子范畴, 记 $\Delta_\Phi$ 为 $\Phi$-序列的范畴, 其对象为有限全序集到 $\Phi$ 的函子, 态射为交换三角, 要求某些条件.

$\Phi = 1$ 时 $\Delta_\Phi = \Delta$;
$\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 是 “带层级结构的树” 的范畴.

令基本对象为 $([0],*)$ 与 $([1],I\to *)$ ($*$ 表示终对象), 令态射为惰性映射当且仅当对应的 $\Delta$ 中的态射为惰性映射, 活性映射当且仅当对应的 $\Delta$ 中的态射为活性映射且自然变换为同构. 这定义了一个代数模式 $\Delta_{\Phi}$.

当 $\Phi = \mathsf{Fin}$ 时该代数模式的 Segal 对象正是 Lurie 的 $\infty$-算畴. 此外, CHH 证明了一系列等价 $$ \mathsf{Seg}_{\Omega} \overset{\simeq}{\to} \mathsf{Seg}_{\Delta_{\mathsf{Fin}}^1} \overset{\simeq}{\leftarrow}\mathsf{Seg}_{\Delta_{\mathsf{Fin}}}, $$ (其中 $\Delta_{\mathsf{Fin}}^1$ 是所有以 $*$ 结尾的 $\mathsf{Fin}$-序列的范畴) 从而说明算畴的所有定义等价.