伴随 [伴随]

观念

伴随是 $2$-范畴的两个对象之间一对态射的一种关系, 可理解为某种对偶; 它是 $1$-范畴中态射的互逆关系的推广.

$2$-范畴 $\mathcal C$ 中的伴随等同于游走的伴随 $\mathsf{Adj}$ 到 $\mathcal C$ 的函子 $$ \mathsf{Adj} \to \mathcal C. $$

定义

伴随函子

一对伴随函子 $F\dashv G$ 是满足如下条件的函子: $$ \operatorname{Hom}(F-,-)\simeq\operatorname{Hom}(-,G-). $$

$2$-范畴中的伴随

$2$-范畴 $\mathcal C$ 中的伴随等同于游走的伴随 $\mathsf{Adj}$ 到 $\mathcal C$ 的函子 $$ \mathsf{Adj} \to \mathcal C. $$

具体地, 一对伴随可由如下资料表现:

  • 态射 $F\colon C\to D$, $G\colon D\to C$;
  • $2$-态射 $\eta\colon \mathrm{id}_C \to GF$, $\varepsilon\colon FG\to\mathrm{id}_D$;
  • 三角形等式 $$ F \overset{\eta}{\to} FGF \overset{\varepsilon}{\to}F = \mathrm{id}_F, $$ $$ G \overset{\eta}{\to} GFG \overset{\varepsilon}{\to}G = \mathrm{id}_G. $$

性质

伴随保持极限

命题. 左伴随函子保持余极限; 右伴随函子保持极限.

证明. 我们证明一个更广泛的结论, 即左伴随保持左 Kan 扩张, 右伴随保持右 Kan 扩张.

设 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 有伴随 $F\dashv G$.

设 $p\colon \mathcal A\to\mathcal B$ 为任意函子. 记 $$ p_!\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)\to\mathsf{Fun}(\mathcal B,\mathcal C) $$ 为沿 $p$ 的左 Kan 扩张; 我们断言对于 $X\in\mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)$, 有 $$ p_! (F\circ X) \simeq F\circ p_! X. $$

注意到, $(F\circ -)\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal D)$ 是 $(G\circ -)\colon \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal D) \to \mathsf{Fun}(\mathcal A,\mathcal C)$ 的左伴随. 另一方面, $p_!$ 是 $p^* = (-\circ p)$ 的左伴随. 由于 $(G\circ -)$ 与 $(-\circ p)$ 两个操作天然是交换的, 两者的左伴随也交换. 这便证明了命题. $\square$

全子范畴的伴随

命题. 设 $F\colon \mathcal C\to\mathcal D$, $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$, 有伴随 $F\dashv G$. 如下两条件等价:

  • $G$ 为全忠实函子;
  • 余单位 $FG \to\mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为同构.

此时称 $G\colon \mathcal D\to\mathcal C$ 为自反子范畴, 或自反局部化.

对偶地, 如下两条件等价:

  • $F$ 为全忠实函子;
  • 单位 $\mathrm{id}_{\mathcal C}\to GF$ 为同构.

证明.

由对偶性, 只需证明第一个命题. $G$ 为全忠实函子, 当且仅当 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(G-,G-)$ 为同构; 由伴随, 这等价于 $\operatorname{Hom}_{\mathcal D}(-,-)\to \operatorname{Hom}_{\mathcal D}(FG-,-)$ 为同构. 由米田引理, 这等价于余单位 $FG \to\mathrm{id}_{\mathcal D}$ 为同构.

例

自由-遗忘伴随

自由-遗忘伴随

自反局部化

自反子范畴

偏序集之间的伴随

见 Galois 对应.

层与平展空间

对拓扑空间 $X$, 预层的平展空间与丛的截面层给出了一对伴随 $$ \operatorname{Presh}(X) \rightleftarrows\mathsf {Top}/X. $$ 这对伴随限制为满子范畴的等价 $$ \operatorname{Sh}(X) \rightleftarrows\mathsf {Et}(X). $$