群作用 [群作用]

定义

生象群

对于生象群 $G$ 与范畴 $\mathcal C$ 的对象 $X$, 定义 $G$ 在 $X$ 上的作用为函子 $$ F\colon \mathbf{B}G\to\mathcal C, $$ 将 $\mathbf{B}G$ 中的对象 $*$ 映射到 $X$.

注. 根据人为选取的约定, 我们将函子 $\mathbf{B}G\to\mathcal C$ 称为 $G$ 的左作用 (这仅仅是因为我们习惯将作用符号写在左边). 相应地, 函子 $\mathbf{B}G^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 称为 $G$ 的右作用. 但实际上 $\mathbf{B}G$ 等价于 $\mathbf{B}G^{\mathrm{op}}$ (因为它是一个群胚), 所以两个概念是等价的.

用游走的观点看, 范畴 $\mathbf{B}G$ 中的对象 $*$ 是游走的 $G$-作用.

定义 $G$-作用 $F\colon \mathbf{B}G\to\mathcal C$ 的不动点为极限 $$ X^G := \operatorname{lim} F ; $$ 定义该作用的余不动点, 又称商, 为 $$ X_G := X/G := \operatorname{colim} F. $$

当然, 充实范畴中的对象也有类似概念.

意象中的群

在 $\infty$-意象 $\mathcal C$ 中, 由意象的下降性质有 $$ \mathcal C_{/\mathbf{B}G}\simeq\operatorname{lim}_{\mathbf{B}G}\mathcal C\simeq\mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathcal C), $$ 群 $G$ 的作用等同于指向 $\mathbf{B}G$ 的映射, 即俯意象 $\mathcal C_{/ \mathbf{B}G}$ 的对象; 而 $\mathbf{B}G$ 又可表现为单纯对象的实现, $$ \mathcal C_{/\mathbf{B}G} \simeq \operatorname{lim}\Big( \mathcal C \rightrightarrows \mathcal C_{/G} \to^3 \mathcal C_{/G\times G}\cdots \Big), $$ 于是 $\mathcal C_{/\mathbf{B}G}$ 的对象等同于单纯对象 $$ X /\!\!/ G := (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X ) $$ 带有指向 $*/\!\!/ G$ 的映射 $$ X /\!\!/ G \to */\!\!/ G. $$ 追溯定义, 可知这是 $G$ 在 $X$ 上的作用, 且商为 $$ X/G=\operatorname{colim}_{\mathbf{B}G}X = \operatorname{colim} X /\!\!/ G. $$

一般范畴中的群

对于一般范畴 $\mathcal C$ 中的群 $G$, 模仿意象中的情形, 也可定义 $G$-作用为单纯对象 $$ X /\!\!/ G = (\cdots X\times G\times G \to^3 X\times G \rightrightarrows X ) $$ 以及态射 $$ X /\!\!/ G \to * /\!\!/ G. $$

性质

对于生象群 $G$ 在生象 $X$ 上的作用, 其不动点可表示为俯意象中的映射空间 $$ X^G = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}_{/\mathbf{B}G}}(\mathbf{B}G,X/G). $$

群作用的同态

设 $F,H\colon \mathbf{B}G\to\mathcal C$ 是两个 $G$-作用, 记 $X=F(*)$, $Y=H(*)$. 那么 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 上有 $G$-作用: $$ \mathbf{B}G \overset{\Delta}{\to}\mathbf{B}G^{\mathrm{op}} \times \mathbf{B}G \overset{\operatorname{Hom}(F-,H-)}{\longrightarrow} \mathsf{Ani}. $$ 且两个 $G$-作用 $F,H$ 之间的同态集, 即自然变换的集合 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathcal C)}(F,H)$ 可以写成端 (注意扭箭头范畴 $\mathsf{Tw}(\mathbf{B}G)$ 等价于 $\mathbf{B}G$ 自身) $$ \operatorname{Hom}_{\mathsf{Fun}(\mathbf{B}G,\mathcal C)}(F,H) = \int_{x\in \mathbf{B}G} \operatorname{Hom}(F(x),H(x)) $$ 从而等价于不动点集 $\operatorname{Hom}(X,Y)^{G}$.

例

左乘/右乘作用

对于生象群 $G$, 映射 $* \to \mathbf{B}G$ 对应的 $G$-作用即是 $G$ 在自身上的左乘作用.

共轭作用

每个群 $G$ 都有在自身上的共轭作用.

$\mathbb{Z}$ 的作用

$\mathbb{Z}$ 在对象 $X$ 上的作用相当于 $X$ 的一个自同构 $\phi\colon X\to X$. 此时,

• 不动点可表现为等化子 $\operatorname{eq}(\mathrm{id},\phi)$ (因为 $\{\bullet\rightrightarrows\bullet\}\to\mathbf{B}\mathbb{Z}$ 是共首函子),
• 余不动点, 即商 $X / \mathbb{Z}$, 可表现为余等化子 $\operatorname{coeq}(\mathrm{id},\phi)$.

相关概念

相对位置