共轭作用 [共轭作用]

生象群 $G$ 的共轭作用 (又叫伴随作用 $\mathrm{Ad}$) 是 $G$ 在自身上的一个作用.

作为左乘右乘作用的拉回

可定义为 $G\times G$ 在 $G$ 上的左乘右乘作用沿对角线 $\Delta\colon G\to G\times G$ 的拉回. $G\times G$ 在 $G$ 上的左乘右乘作用由逆环路空间 $\mathbf{B}G$ 的对角线给出: $$ \begin{array} {c} G/(G\times G)=\mathbf{B}G\\ \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\!\\ \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 从而共轭作用的商 $G/_{\mathrm{Ad}}G$ 是 $\mathbf{B}G$ 的对角线 $\Delta_{\mathbf{B}G}$ 沿 $\Delta$ 自身的拉回. $$ \begin{array} {ccc} G /_{\mathrm{Ad}} G & \to & \mathbf{B}G\\ \downarrow & & \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\! \\ \mathbf{B}G & \underset{\Delta}{\to} & \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 注意到由 $S^1$ 的表现 $S^1 = *\sqcup_{*\sqcup *} *$, 前述拉回也等同于 $S^1$ 到 $\mathbf{B}G$ 的映射空间, 即 $\mathbf{B}G$ 的自由环路空间: $$ G /_{\mathrm{Ad}} G = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(S^1,\mathbf{B}G). $$

一般地, 对于群同态 $\phi\colon A\to G$, 有 $A$ 在 $G$ 上的共轭作用, 其商 $G /_{\mathrm{Ad}} A$ 为如下拉回. $$ \begin{array} {ccc} G /_{\mathrm{Ad}} A & \to & \mathbf{B}G\\ \downarrow & & \downarrow{\scriptsize \Delta}\!\!\! \\ \mathbf{B}A & \underset{(\mathbf{B}\phi,\mathbf{B}\phi)}{\to} & \mathbf{B}G\times\mathbf{B}G \end{array} $$ 当然, 这个作用就是 $G$ 在 $G$ 上的共轭作用沿着群同态 $\phi\colon A\to G$ 的拉回.

作为环路群函子

对任意生象 $X$, 有环路空间函子 $$ X \to \mathsf{Ani},\,x\mapsto\Omega(X,x). $$ 该函子可视为对角线与 Hom 函子的复合 $$ X \overset{\Delta}{\to}X\times X\overset{\operatorname{Hom}(-,-)}{\longrightarrow}\mathsf{Ani}. $$ 我们知道 $\operatorname{Hom}(-,-)\colon X\times X\to\mathsf{Ani}$ 的元素范畴 (也即 Grothendieck 构造, 即 $X$ 的扭箭头范畴) 为对角线 $\Delta\colon X \to X\times X$.

现设 $X = \mathbf{B}G$, 那么上述构造给出的函子 $$ \mathrm{Ad}\colon \mathbf{B}G \to \mathsf{Ani} $$ 正是 $G$ 在自身上的共轭作用.

对于子群 (或群同态) $H\to G$, $H$ 在 $G$ 上的共轭作用为 $$ \mathbf{B}H\to\mathbf{B}G\overset{\mathrm{Ad}}{\to}\mathsf{Ani}. $$

性质

不动点

群 $G$ 在自身上的共轭作用的不动点是 $G$ 的中心.

例

映射空间上的共轭作用

群 $H,G$ 的逆环路空间 $\mathbf{B}H,\mathbf{B}G$ 之间的映射空间 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Ani}}(\mathbf{B}H,\mathbf{B}G)$ 是群同态集 $\operatorname{Hom}_{\mathsf{Grp}}(H,G)$ 上 $G$ 的共轭作用的商.

这个作用来自复合函子 $$ \mathbf{B}G \overset{\mathrm{Ad}}{\to} \mathsf{Grp} \overset{\operatorname{Hom}(H,-)}{\longrightarrow} \mathsf{Ani}. $$