代数模式 [代数模式]

观念

代数模式 (algebraic pattern) 是 Chu–Haugseng 对如下现象的抽象:

一个 $\mathbb E_\infty$-空间等同于一个函子 $F\colon \mathsf{Fin}_* \to\mathsf{Ani}$, 满足 $F(\langle n \rangle) \to \prod_{i=1}^n F(\langle 1 \rangle)$ 为等价;
一个 $\mathbb A_\infty$-空间等同于一个函子 $F\colon \Delta^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 满足 $F([0]) = 1$ 且 $F([n])\to F([1])^{n}$ 为等价;
一个 $\infty$-范畴等同于一个函子 $\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 满足 $F([n])\to F([1])^{\times_{F([0])} n}$ 为等价 (见 Segal 对象), 以及某种完备性 (见完备 Segal 对象);
$(\infty,n)$-算畴等同于函子 $\Theta_n^{\mathrm{op}}$ $\to \mathsf{Ani}$ (见 $\Theta_n$-生象), 满足某些条件;
$\infty$-算畴等同于函子 $\Omega^{\mathrm{op}}$ $\to \mathsf{Ani}$ (见树形对象), 满足某些条件;
一个特定 $\infty$-算畴 $\mathcal O$ 在 $\mathsf{Ani}$ 中的代数等同于 $\mathcal O$ 的 “算子范畴” 出发的一个满足某些条件的函子.

下面我们逐层对每个例子解释代数模式的各个成分的直观.

1. 底层结构与基本对象

每种代数结构都有一种和代数无关的底层结构. 我们现在假设底层结构总可以由一些基本对象 (elementary object) 来探测, 例如

$\mathbb E_\infty$-代数, $\mathbb A_{\infty}$-代数的底层结构就是生象, 由一个点 $[0]$ 探测;
$\infty$-范畴的底层结构是图, 由点 $[0]$ 与有向线段 $[1]$ 探测 (注意这里有向线段 $[1]$ 没有到 $[0]$ 的映射, 意味着图的顶点处不需要有一个平凡的边, 也就是说底层结构中甚至连 “零元运算” 这样平凡的代数结构都没有, 完完全全和代数无关);
$(\infty,n)$-范畴的底层结构由各维数的胞腔探测;
$\infty$-算畴的底层结构由花形 (树的基本构件) 与一个只有一条边的树探测.

总之, 底层结构可视为基本对象的范畴上的预层. 但是 CH 选择将其记为 $\mathcal O^{\mathrm{el}} \to \mathsf{Ani}$. 为了尽量不与他们的选择产生记号冲突, 我们将用下标 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 表示我们心目中基本对象的范畴, 顺便提前说明后文所用的记号约定:

$\mathcal O_{\mathrm{el}} := (\mathcal O^{\mathrm{el}})^{\mathrm{op}}$,
$\mathcal O_{\mathrm{int}} := (\mathcal O^{\mathrm{int}})^{\mathrm{op}}$,
我们的 $\mathcal O$ 是 CH 的 $\mathcal O^{\mathrm{op}}$.

下面我们所说的惰性态射都是 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 中的态射.

这样约定的一个原因是我们具有如下直观: $\mathcal O$ 的对象是基本的几何对象, 惰性映射是几何对象的嵌入, 活性-惰性分解类似于满-单分解.

另一个原因是, 在 CH 的几乎所有例子中都有一个 $\mathrm{op}$, 唯一没有 $\mathrm{op}$ 的是 $\mathsf{Fin}_*$, 但其实它可以理解为 $\Gamma^{\mathrm{op}}$.

记号. 在整个页面中, 我们用 $\rightarrowtail$ 表示惰性映射, 用 $\leadsto$ 表示活性映射.

2. 代数结构

为了探测底层结构之上的代数结构, 我们需要一些比基本对象更多的对象, 一些能够承载 “代数运算” 的对象, 例如

$\mathbb E_\infty$-代数结构由 (带基点) 有限集探测¹;
$\mathbb A_{\infty}$-代数和 $\infty$-范畴结构均由单纯形探测;
$(\infty,n)$-范畴结构由 Joyal 范畴 $\Theta_n$的对象探测;
$\infty$-算畴结构由树探测.

注意这里若要按我们的理解, “探测对象” 的范畴实际上是 Segal 范畴 $\Gamma := \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$. 可以理解为: $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 的对象是有限集, 态射 $S\to T$ 是给 $S$ 的每个元素指定 $T$ 的一个互不相交的子集. 对此我有一种开玩笑的解释: $\langle 1\rangle$ 是一个维数无限的实心球, 以至于把它切成两块的方法本质上是唯一的; $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中的映射 $\langle 1\rangle \to \langle 2\rangle,1\mapsto\{1,2\}$ 可理解为把一个球切开变成两个球, 但由于维数无限, 那两个球的位置关系不起任何作用. 如果读者对这个解释感到莫名其妙, 可以忽略.

总之, 一个代数结构可视为一个函子 $\mathcal O^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, 其中 $\mathcal O$ 包含了基本对象 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 作为子范畴 (但不要求是全子范畴). 这个函子还要满足某种 Segal 条件, 直观上说的是: 当我们用更多的一些对象探测时, 探测的结果必须与基本对象的探测相容, 即 $$ F(X) \simeq \operatorname{lim}_{E\text{ 基本, }E\to X\text{ 惰性}} F(E). $$ 这里的直观是一些基本对象 $E$ 组成了 $X$, 比如

在 $\mathbb E_\infty$-代数的例子中, 一些单元子集组成了一个有限集;
在 $\infty$-范畴的例子中, 一些有向线段和点组成了一个链条;
在 $\infty$-算畴的例子中, 一些花形和边组成了一棵树;

3. 惰性映射与活性映射

上个公式中有一个没有解释的概念叫惰性映射 (inert morphism). 直观上, 惰性映射就是是测试对象之间纯粹由 “几何形状的嵌入” 造成的映射, 是不表达任何 “代数运算” 的映射, 比如

$\mathbb E_\infty$-代数的测试对象 $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 惰性映射 $S\to T$ 是给 $S$ 的每个元素指定 $T$ 的一个单元子集;
$\mathbb A_\infty$-代数和 $\infty$-范畴的测试对象 $\Delta$ 中, 惰性映射就是区间的含入 $\{k\leq k+1\leq\cdots\leq l\}\subset [m]$;
$\infty$-算畴的测试对象 $\Omega$ (树) 中, 惰性映射就是树的含入 (可由多项式函子之间的 Descartes 自然变换描述, 详见树页面).

特别地, 基本对象之间的映射都是惰性映射, 也即 $$ \mathcal O_{\mathrm{el}}\to\mathcal O_{\mathrm{int}} $$ 是全子范畴.

我们将用 $\rightarrowtail$ 表示惰性映射.

与惰性映射相对的是活性映射 (active morphism) $\mathcal O_{\mathrm{act}}$, 就是那些专门用来表达代数运算的映射, 比如

$\mathbb E_\infty$-代数的测试对象 $\Gamma = \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 活性映射 $S\to T$ 就是给 $S$ 的所有元素指定的 $T$ 的子集并在一起等于 $T$ 的映射, 其中 $\langle 1\rangle \to \langle 2\rangle$, $1\mapsto \{1,2\}$ 表达了 $\mathbb E_\infty$-代数中的乘法;
$\mathbb A_\infty$-代数和 $\infty$-范畴的测试对象 $\Delta$ 中, 活性映射 $[n] \to [m]$ 就是保持端点的映射, 其中 $[1] \to [2], 0\mapsto 0, 1\mapsto 2$ 表达了 $\mathbb A_\infty$-代数中的乘法和 $\infty$-范畴中态射的复合;

我们要求惰性映射和活性映射构成 $\mathcal O$ 的宽子范畴, 即包含所有对象的子范畴.

我们将用 $\leadsto$ 表示活性映射.

4. 分解系统

惰性映射和活性映射构成分解系统 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$: 测试对象之间的任何态射唯一地分解为 “先一个活性映射, 再一个惰性映射”. 注意在 CH 文中是先惰性, 再活性 (因为他们的取反).

$\mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}$ 中, 态射 $f\colon S\to T$ 可分解为 $S \leadsto \bigsqcup_s f(s)\rightarrowtail T$.
$\Delta$ 中, 态射 $f\colon [n] \to [m]$ 可分解为 $[n]\leadsto \{f(0)\leq \cdots \leq f(n)\}\rightarrowtail [m]$.

定义

模型 (Segal 对象)

给定有适当极限的范畴 $\mathcal C$, 代数模式 $\mathcal O$ 的模型 (或称 Segal 对象) 是函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张, 或等价地 $$ j^* F \overset{\simeq}{\longrightarrow} i_* i^* j^* F. $$ 其中 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$, $j\colon \mathcal O_{\mathrm{int}}\to\mathcal O$.

注意, 对于一个函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, Segal 条件是性质而非结构. 故 Segal 对象的范畴 $$ \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) $$ 应当定义为函子范畴 $\mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{op}},\mathcal C)$ 的全子范畴.

Ani-值 Segal 对象的范畴是如下拉回: $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Seg}_{\mathcal O} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} & \underset{i_*}{\rightarrow} & \widehat{\mathcal O_{\mathrm{int}}} \end{array} $$ 注意由于 $i_*$ 全忠实, 故 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O} \to \widehat {\mathcal O}$ 全忠实. 这个拉回图表非常重要, 另见脉性单子.

代数模式的态射

定义. 代数模式之间的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 是保持活性和惰性映射, 并将基本对象映射到基本对象的函子.

定义. 代数模式之间的 Segal 态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 是满足如下条件的态射: 对任意 Segal $\mathcal P$-生象 $F\colon \mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$ 以及 $X\in\mathcal O$, 典范映射 $$ \begin{aligned} F(f(X))&\simeq \operatorname{lim}_{E\text{ 基本, }E\rightarrowtail f(X)}F(E) \\ &\to \operatorname{lim}_{e\text{ 基本, }e\rightarrowtail X}F(f(e)) \end{aligned} $$ 为等价. 换言之, $f^*F|_{\mathcal O^{\mathrm{int}}}$ 是 $f^*F|_{\mathcal O^{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.

在实践中, 上式的指标范畴之间的映射常为共首函子, 从而两极限相等.

命题. 对于代数模式之间的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 如下条件等价:

$f$ 是 Segal 态射;
$f^*\colon \widehat {\mathcal P} \to \widehat {\mathcal O}$ 限制为函子 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani})$;
对任意合适的范畴 $\mathcal C$, $f^*\colon \mathsf{Fun}(\mathcal P^{\mathrm{op}},\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O^{\mathrm{op}},\mathcal C)$ 限制为函子 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$.

命题 (自由函子). 设 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$ 是代数模式之间的 Segal 态射, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则 $f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 有左伴随 $L_{\mathrm{Seg}}\circ f_!$, 其中 $L_{\mathrm{Seg}}$ 是 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)\hookrightarrow\mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathcal C)$ 的左伴随 (局部化), $f_!$ 是沿 $f$ 左 Kan 扩张.

证明. 展开定义. $\square$

在一些良好的情况下, 我们不需要这个局部化 $L_{\mathrm{Seg}}$, 甚至这个伴随是单子性的.

积性模式与可充实模式

定义. 积性模式 (Cartesian pattern) 是指一个代数模式 $\mathcal O$ 带有态射 $|\{-\}|\colon \mathcal O \to \Gamma^\flat$, 满足对任意 $X\in\mathcal O_{\mathrm{int}}$, 典范的函子 $$ (\mathcal O_{\mathrm{el}})_{/X} \to (\Gamma^\flat_{\mathrm{el}})_{/|X|} $$ 为等价. 这里 $(\mathcal O_{\mathrm{el}})_{/X}$ 指的是 $\mathcal O$ 的基本对象到 $X$ 的惰性映射的范畴. 注意到右边是一个 $|X|$ 元离散集合. 因此积性模式就是每个对象包含的基本对象都构成离散有限集的模式, 这导致它的 Segal 对象在探测对象上的取值等于其在基本对象上的取值的积.

例. Segal 态射 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$ 是积性模式.

定义. 可充实模式 (enrichable pattern) todo

$\mathcal O$-幺半范畴

积性代数模式 $\mathcal O$ 在范畴的范畴 $\mathsf{Cat}$ 中的 Segal 对象称为 $\mathcal O$-幺半范畴. 对于 $\mathcal O$-幺半范畴 $\mathcal C$, 定义 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal O$-代数为 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Cat})$ 中的态射 $1 \to \mathcal C$. 记 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal O$-代数的范畴为 $\mathsf{Alg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$.

对于积性模式的态射 $f\colon \mathcal O\to\mathcal P$ 以及 $\mathcal P$-幺半范畴 $\mathcal C$, 也可以谈论 $\mathcal C$ 中的 $\mathcal O$-代数, 方法是先将 $\mathcal C$ 沿着 $f$ 拉回为 $\mathcal O$-幺半范畴. 记 $$ \mathsf{Alg}_{\mathcal O / \mathcal P}(\mathcal C) = \mathsf{Alg}_{\mathcal O}(f^*\mathcal C). $$

性质

与算畴的关系; 弱 Segal 纤维化

注意算畴在这个故事中有两个层级的角色: 一个算畴既可以给出一种代数模式, 同时又是 “算畴” 这种代数模式的一个模型 (Segal 对象). 本节讲的是前一种角色, 即一个 (Lurie HA 中的) 算畴如何给出一个代数模式.

我们回顾 Lurie HA 的定义, 但转换为我们的直观 (注意很多地方方向是反的): 一个算畴是一个纤维范畴 $$ p\colon \mathcal O \to \Gamma, $$ 记 $p^{-1}(\langle n\rangle)$ 为 $\mathcal O_{\langle n \rangle}$, 满足以下条件:

(惰性提升) $\Gamma$ 中每个惰性映射 $\langle n\rangle \rightarrowtail \langle m \rangle$ 都有沿 $p$ 的水平 (Cartesian) 提升, 且给出反向的函子 $\mathcal O_{\langle m \rangle} \to \mathcal O_{\langle n \rangle}$;
(Segal 条件) 由惰性映射 $\rho_i\colon \langle 1\rangle \rightarrowtail \langle n\rangle$ (将 $\{1\}$ 唯一的元素对应到单元子集 $\{i\}\subset \{1,\cdots,n\}$) 给出的态射 $\mathcal O_{\langle n \rangle} \to \prod_{i=1}^n \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 是等价;
对于 $X\in\mathcal O_{\langle k\rangle}$, $Y\in\mathcal O_{\langle \ell\rangle}$ 以及 $\Gamma$ 中任意态射 $f\colon \langle k\rangle \to \langle \ell \rangle$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \prod_{i=1}^{k}\operatorname{Hom}^{f\rho_i}(X_i,Y), $$ 其中 $X_i$ 是 $X$ 根据第二条 (Segal 条件) 分解出的第 $i$ 分量.

我们构造 $\mathcal O$ 上的一个代数模式结构:

基本对象的范畴取 $\mathcal O_{\langle 1\rangle}$;
惰性映射就是定义中的惰性提升;
活性映射就是居于 $\Gamma$ 中的活性映射之上的映射.

上述结构的底不必为 $\Gamma$, 而是可以推广到任意代数模式上. 这说明 Lurie $\infty$-算畴不过是如下 “弱 Segal 纤维化” 的概念在 $\Gamma$ 上的特例.

定义. 设 $\mathcal O$ 为代数模式, 定义弱 Segal $\mathcal O$-纤维化为函子 $p\colon \mathcal E \to \mathcal O$, 满足

$\mathcal O$ 中的惰性映射存在水平提升 (换言之, 有函子 $\mathcal O_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, $N\mapsto \mathcal E_N$);
对任意 $N\in\mathcal O$, 函子 $\mathcal E_N \to \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail N}\mathcal E_{E}$ 为等价;
给定 $X \in \mathcal E_N$, $Y\in\mathcal E_M$ 以及 $\mathcal O$ 中的态射 $f\colon N\to M$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \operatorname{lim}_{g\colon E\rightarrowtail N}\operatorname{Hom}^{fg}(g^*X,Y). $$

自由–遗忘伴随, 以及拉回的左伴随

设 $\mathcal O$ 为代数模式, $\mathcal C$ 为具有合适极限的范畴, 将 Segal 对象限制到基本对象可得遗忘函子 $$ U_{\mathcal O} \colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Fun}(\mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}},\mathcal C). $$ 当该函子有左伴随 $F_{\mathcal O}$ 时, 称之为自由 Segal $\mathcal O$-对象.

注意到 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 本身也可视为一个代数模式, 其中的活性映射仅有同构 (“没有任何代数运算”), 基本对象仍为 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$; 那么 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}(\mathcal C)$ 等价于 $\mathsf{Fun}(\mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}},\mathcal C)$. 这样, 上述遗忘函子可视为特殊的拉回函子 $$ j_{\mathcal O}^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}(\mathcal C). $$ 于是, 自由函子是 “拉回的左伴随” 的特例.

命题 (CH, Proposition 8.1). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 为本质满 Segal 态射, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则

$F\colon \mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$ 是 Segal 对象当且仅当 $f^*F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ 是 Segal 对象;
存在单子性伴随 $(L_{\mathrm{Seg}}\circ f_!)\dashv f^*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C)$.

定义. 对于代数模式的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 称其有唯一惰性提升是指如下两个等价条件成立:

对任意 $o\in\mathcal O$, 每个指向 $f(o)$ 的惰性映射唯一地提升为指向 $o$ 的惰性映射;
对任意 $p\in\mathcal P$, 所有 $p$ 到 $f(o)$ 的活性映射的范畴 $\{p \leadsto f(o)\}$ 在所有映射的范畴 $\{p\to f(o)\}$ 中为共首子范畴;
Beck–Chevalley 基变换 …?

命题 (CH, Corollary 7.4). 若 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 有唯一惰性提升, 则有函子 $\mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, $p\mapsto\{p\leadsto f(o)\}$.

注 (CH, Remark 7.6). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 有唯一惰性提升, 对任意活性映射 $\phi\colon p \leadsto f(o)$, 可定义一个函子 $$ \{p' \rightarrowtail p\} \to \Big\{ \begin{array}{ccc} p' & \leadsto & f(o') \\ \downarrow & & \downarrow \\ p & \underset{\phi}{\leadsto} & f(o) \end{array} \Big\} \to \{o'\rightarrowtail o\}. $$ 其中第一步是对于 $\alpha\colon p' \rightarrowtail p$, 考虑 $\phi\alpha\colon p'\to f(o)$ 的活性-惰性分解 $p'\leadsto f(o')\rightarrowtail f(o)$. 这也是来自于上个命题中的函子 $\mathcal P^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$. 后文中为了简明符号, 所有的 $o'$ 都表示这一过程中的对象.

将上述观察应用到基本对象 $e\rightarrowtail p$, 再复合 $$ \{o' \rightarrowtail o\} \to \mathsf{Cat}, (o'\rightarrowtail o)\mapsto \{e'\rightarrowtail o'\}, $$ 我们得到一个函子 $$ \{e\rightarrowtail p\} \to\mathsf{Cat}, (\alpha\colon e\rightarrowtail p)\mapsto\{e'\rightarrowtail o'\}, $$ 粗略地说, 对 $\mathcal P$ 的每个对象的每个基本成分, 这个函子给出 $\mathcal O$ 中相关的基本成分的范畴.

下面的定义是 CH 的重要概念, 但其本身不提供直观, 因为这个定义只是总结了左 Kan 扩张要保持 Segal 条件所需的计算上的便利条件. 在实践中, 这些条件常常满足.

定义. 代数模式的可扩张态射 (extendable morphism) 是满足如下条件的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$:

$f$ 有唯一惰性提升;
对任意 $p\in \mathcal P$, 记 $\mathcal L_p = \operatorname{lim}_{e\to p}\{e\leadsto f(o)\}$, 则 $\{p\leadsto f(o)\} \to \mathcal L_p$ 为共首函子.
对任意活性映射 $\phi\colon p\leadsto f(o)$, 任意函子 $F\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, $$ \operatorname{lim}_{e\to o}F(e) \simeq \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p, e'\to o'}F(e'). $$

命题 (CH, Corollary 7.13). 设 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$ 为代数模式的可扩张态射, $\mathcal C$ 为 $f$-可容许范畴 (我们等到需要的时候再来定义这个条件), 则左 Kan 扩张限制为函子 $$ f_!\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C). $$

证明. $$ \begin{aligned} f_!F(p) &= \operatorname{colim}_{p\to f(o)} F(o)\\ &=\operatorname{colim}_{p\leadsto f(o)} F(o)\ (\star)\\ &=\operatorname{colim}_{p\leadsto f(o)} \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}F(o')\ (\heartsuit)\\ &=\operatorname{colim}_{\mathcal L_p}\operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}F(o')\ (\spadesuit)\\ &=\operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}\operatorname{colim}_{e\leadsto f(o)} F(o)\ (\dagger)\\ &=\operatorname{lim}_{e\rightarrowtail p}(f_! F)(e). \end{aligned} $$ 其中

$(\star)$ 是因为 $\{p \leadsto f(o)\}$ 在 $\{p\to f(o)\}$ 中为共首子范畴, 但此处余极限的指标范畴是这两个范畴的反范畴, 共首变为共尾;
$(\heartsuit)$ 是因为可扩张性的第三个条件;
$(\spadesuit)$ 是因为可扩张性的第二个条件;
$(\dagger)$ 就是 $\mathcal C$ 的可容许条件, 它是一种极限对余极限分配的条件.

当然, 上述命题之所以有意义, 是因为实践中我们真的可以验证这一堆条件.

例. 对称算畴作为 $\Gamma^\flat$ 上的弱 Segal 纤维化, 任意两个对称算畴之间的态射都是可扩张的. 见算畴左 Kan 扩张.

对于 $F\in\widehat {\mathcal O_{\langle 1 \rangle}^{\simeq}}$ 以及 $X\in\mathcal O_{\langle 1 \rangle}$, 自由 $\mathcal O$-代数单子 $T_{\mathcal O}$ 给出 $$ \begin{aligned} T_{\mathcal O}F(X) &=\operatorname{colim}_{X\leadsto Y} F(Y)\\ &=\bigsqcup_{n\geq 0}\operatorname{colim}_{X\leadsto (Y_1,\cdots,Y_n)} F(Y_1) \times \cdots \times F(Y_n). \end{aligned} $$ 对于单色算畴, $\mathcal O_{\langle 1 \rangle}^{\simeq} = \{*\}$, 那么我们得到经典的自由 $\mathcal O$-代数单子公式 $$ T_{\mathcal O}C = \bigsqcup_{n\geq 0} \operatorname{colim}_{\mathbf{B}S_n} \mathcal O (n)\times C^n = \bigsqcup_{n\geq 0} \mathcal O(n)\times_{S_n} C^n, $$ 其中 $\mathcal O (n)$ 是 $n$ 元运算的空间, 是 $\{*\leadsto (*,\cdots,*)\} \to \{\langle 1\rangle\leadsto \langle n \rangle\} = \mathbf{B}S_n$ 的纤维, 其上自然带有 $S_n$-作用.

拉回的右伴随

定义. 对于代数模式的态射 $f\colon \mathcal O \to \mathcal P$, 称其有唯一活性提升是指如下两个等价条件成立:

对任意 $o\in\mathcal O$, 每个由 $f(o)$ 出发的活性映射唯一地提升为 $o$ 出发的活性映射;
对任意 $p\in\mathcal P$, 所有 $f(o)$ 到 $p$ 的惰性映射的范畴 $\{f(o)\rightarrowtail p\}$ 在所有映射的范畴 $\{f(o)\to p\}$ 中为共尾子范畴;
Beck–Chevalley 基变换 $j_{\mathcal P}^*f_* \to f_*j_{\mathcal O}^*$ 为等价.

这两个条件等价是分解系统的一般性质.

命题 (CH, Proposition 6.3). 设 $f\colon \mathcal O\to \mathcal P$ 为代数模式的态射, $\mathcal C$ 为具有合适极限的范畴, 则右 Kan 扩张 $f_*\colon \widehat {\mathcal O} \to \widehat {\mathcal P}$ 限制为函子 $$ f_*\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C). $$

代数模式给出单子

每个代数模式 $\mathcal O$ 给出底层结构 $\widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 上的一个带元数的单子.

命题 (CH, Corollary 8.2). 设 $\mathcal O$ 为代数模式, $\mathcal C$ 为可表现范畴, 则自由–遗忘伴随 $$ F_{\mathcal O}\colon \mathsf{Fun}(\mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}},\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C) \colon U_{\mathcal O} $$ 是单子性的.

定义 (CH, Definition 8.5). 若代数模式的态射 $\mathcal O_{\mathrm{int}} \to \mathcal O$ 是可扩张的, 则称 $\mathcal O$ 可扩张 (extendable). 具体地, 这等同于如下条件:

考虑函子 $\operatorname{Act}_{\mathcal O}\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, $\operatorname{Act}_{\mathcal O}(X)$ 为 $X$ 发出的活性映射构成的生象, 则 $\operatorname{Act}_{\mathcal O}$ 为 Segal $\mathcal O$-生象;
对 $\mathcal O$ 中任意活性映射 $o''\leadsto o$, 任意函子 $F\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}$, $$ \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail o} F(e) \simeq \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail o'',e'\to o'}F(e'). $$ 这里 $e\rightarrowtail o'' \leadsto o$ 的活性-惰性分解是 $e\leadsto o'\rightarrowtail o$.

特别地, 第二个条件推出 “广义 Segal 条件”: 对于 Segal 对象 $\Phi\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$ 与任意活性映射 $o''\leadsto o$, $$ \Phi(o) \simeq \operatorname{lim}_{e\rightarrowtail o''} F(o'). $$

命题 (CH, Proposition 8.8). 代数模式 $\mathcal O$ 可扩张当且仅当沿 $j_{\mathcal O}$ 的左 Kan 扩张限制为函子 $$ j_{\mathcal O,!}\colon \mathsf{Seg}_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani}). $$

推论 (CH, Proposition 8.12). 设 $\mathcal O$ 为可扩张代数模式, $\mathcal C$ 为 $\mathcal O$-可容许范畴 (某些极限对余极限的分配律), 则自由函子 $F_{\mathcal O}\colon \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} \to\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Ani})$ 可表达为 $$ \begin{aligned} F_{\mathcal O}(\Phi)(X) &= (j_{\mathcal O,!}i_{\mathcal O,*}\Phi) (X) \\ &=\int_{Y\in\mathcal O_{\mathrm{int}}} \{X\leadsto Y\} \times \int_{E\in\mathcal O_{\mathrm{el}}}^*\Phi(E)^{\{E\rightarrowtail Y\}} \\&= \operatorname{colim}_{Y\in\operatorname{Act}_{\mathcal O}(X)}\operatorname{lim}_{E\rightarrowtail Y} \Phi(E). \end{aligned} $$ 其中 $i_{\mathcal O}\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 为基本对象的全子范畴, $j_{\mathcal O}\colon \mathcal O_{\mathrm{int}} \to \mathcal O$ 为惰性映射的宽子范畴.

命题 (CH, Proposition 10.6). 设 $\mathcal O$ 为可扩张代数模式, 则 $\widehat{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 上的自由 Segal $\mathcal O$-生象单子 $T_{\mathcal O}$ 为多项式单子. 这里多项式单子的定义是 Descartes 单子且为局部右伴随.

这个结论保证了这些代数模式给出带元数的单子.

单子给出代数模式

设 $F\colon \mathcal C \to \mathcal D$ 为可表现范畴之间的局部右伴随函子, 即 $F_{/*}\colon \mathcal C \to \mathcal D_{F(*)}$ 有左伴随 $L\colon \mathcal D_{/F(*)} \to \mathcal C$.

称 $\mathcal D$ 中形如 $d \to F(L(d))$ 的态射为一般映射 (generic map). 很明显, $\mathcal D$ 中的任何态射 $d\to F(c)$ 唯一地分解为 “先一个一般映射, 再一个 $F$ 的像中的映射 (称为自由映射)”: $$ d \to F(L(d)) \to F(c), $$ 称之为一般–自由分解.

设 $\mathcal J$ 为小范畴, $T$ 为 $\widehat {\mathcal J}$ 上的多项式单子. 定义

$\mathcal U(T)$ 为 $\widehat {\mathcal J}$ 中由存在一般态射 $j \to Tx$ ($j\in \mathcal J$ 经米田嵌入) 的对象 $x$ 构成的全子范畴;
$\mathcal W(T)$ 为 $\mathcal U(T)$ 的对象生成的自由 $T$-代数构成的 $\mathsf{Alg}_T(\widehat {\mathcal J})$ 的全子范畴.

事实上 $T$ 是 $\widehat {\mathcal J}$ 上以 $\mathcal U(T)$ 为元数的单子. 脉定理告诉我们 $$ \begin{CD} \mathsf{Alg}_T(\widehat {\mathcal J}) @>{\nu_{\mathcal W(T)}}>> \widehat {\mathcal W(T)} \\ @V{U_T}VV @VV{j_T^*}V \\ \widehat {\mathcal J} @>>{\nu_{\mathcal U(T)}}> \widehat {\mathcal U(T)} \end{CD} $$ 满足 Beck–Chevalley 条件 $$ j_{T,!}\nu_{\mathcal U(T)} \overset{\simeq}{\longrightarrow} \nu_{\mathcal W(T)} F_T, $$ 且脉函子 $\nu_{\mathcal W(T)}$ 全忠实.

CH 说明 $\mathcal W(T)$ 上有一个可扩张的代数模式结构, … todo

极限和余极限

命题. 代数模式的范畴具有极限和滤余极限. 具体地, 记 $$ \mathsf{OFS}\hookrightarrow\mathsf{Fun}(\Lambda_2^2,\mathsf{Cat}) $$ 为带正交分解系的范畴的范畴, 代数模式的范畴为 $$ \mathsf{AlgPatt} \hookrightarrow \mathsf{OFS}\times_{\mathsf{Cat}}\mathsf{Ar}(\mathsf{Cat}) $$ $$ =\{\big((\mathcal C,\mathcal C_{\mathrm{int}},\mathcal C_{\mathrm{\mathrm{act}}})\in\mathsf{OFS},\mathcal C_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal C_{\mathrm{int}}\big)\}. $$ (以上 $\hookrightarrow$ 均表示全忠实函子.) 那么 $\mathsf{AlgPatt}$ 关于 $\mathsf{OFS}\times_{\mathsf{Cat}}\mathsf{Ar}(\mathsf{Cat})$ 中的极限和滤余极限封闭.

下面我们给出一些代数模式的极限和滤余极限的例子.

终模式

代数模式范畴的终对象 $1$ 是由终范畴 $1$, 其上唯一的分解系统 (平凡分解系统) 与全子范畴 $\mathrm{id}\colon 1_{\mathrm{el}}=1\to 1$ 构成的. Segal 条件平凡; 对任意积幺半范畴 $\mathcal C$, $\mathsf{Seg}_1(\mathcal C) \simeq \mathcal C$.

对任意代数模式 $\mathcal O$, 有唯一的态射 $p\colon \mathcal O \to 1$. 拉回 $p^* \colon \mathcal C \to \mathsf{Fun}(\mathcal O,\mathcal C)$ 给出常值函子; 它落在 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathcal C)$ 中当且仅当如下条件成立:

对任意 $o\in\mathcal O$, 范畴 $\{e \rightarrowtail o\}$ 弱可缩.

这个条件成立的一个重要例子是 $\mathcal O = \Delta^{\natural}$. 对单纯形 $[n]\in\Delta$, 其基本对象的范畴为 “之字形” $0 \to \{0\to 1\} \leftarrow 1 \to \{1\to 2\} \cdots\leftarrow n$, 显然为弱可缩范畴.

代数模式的乘积

代数模式具有有限积 $\mathcal O\times\mathcal P$, 其中基本对象的子范畴为 $\mathcal O_{\mathrm{el}}\times\mathcal P_{\mathrm{el}}$, 惰性映射构成的子范畴为 $\mathcal O_{\mathrm{int}}\times\mathcal P_{\mathrm{int}}$, 且满足 $$ \mathsf{Seg}_{\mathcal O \times \mathcal P} (\mathcal C) \simeq \mathsf{Seg}_{\mathcal O}(\mathsf{Seg}_{\mathcal P}(\mathcal C)). $$ 具体地, 函子 $F\colon \mathcal O\times\mathcal P \to\mathcal C$ 为 Segal 对象, 当且仅当 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}\times\mathcal P_{\mathrm{int}}}$ 同构于 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}\times\mathcal P_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张; 注意这个右 Kan 扩张有两种路径, 最终结果一致.

代数模式的拉回

范畴 $\Delta$ 上有两个模式, 记只有一个基本对象的为 $\Delta^\flat$, 两个基本对象的为 $\Delta^{\natural}$. 类似地, 范畴 $\Gamma$ 上有两个模式 $\Gamma^\flat$, $\Gamma^\natural$. 有代数模式的拉回图 $$ \begin{CD} \Delta^{\flat} @>{\gamma}>> \Gamma^\flat \\ @VVV @VVV \\ \Delta^\natural @>>{\gamma}> \Gamma^\natural. \end{CD} $$

代数模式的序列余极限

考虑序列余极限 $$ \Theta^\natural := \operatorname{colim}_n \Theta_n^\natural, $$ 有 $$ \mathsf{Seg}_{\Theta^\natural}(\mathsf{Ani}) = \operatorname{lim}_n\mathsf{Seg}_{\Theta_n^\natural}(\mathsf{Ani}), $$ 故 $\mathsf{Seg}_{\Theta^\natural}(\mathsf{Ani})$ 的对象可视为 “$(\infty ,\infty )$-范畴” 的模型, 函子 $\mathsf{Seg}_{\Theta^\natural}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_{\Theta_n^\natural}(\mathsf{Ani})$ 给出其底层 $(\infty,n)$-范畴.

模式的圈积

定义 (模式与 $\Gamma$ 的圈积). 对于代数模式 $\mathcal O$, 定义一个模式 $\Gamma \wr \mathcal O$ 如下:

范畴 $\Gamma \wr \mathcal O$ 即是 $\Gamma$ 与范畴 $\mathcal O$ 的圈积; 具体地, 其对象形如 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n)$, 态射 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n) \to \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 包含一个 $\Gamma$ 中的态射 $\phi\colon \langle n\rangle \to \langle m \rangle$ 以及 $\mathcal O$ 中的一族态射 $X_i \to Y_j$, $j\in \phi(i)$.
代数模式 $\Gamma \wr \mathcal O$ 的基本对象定义为 $\langle 0 \rangle ()$ 以及 $\langle 1 \rangle (E)$, $E\in\mathcal O^{\mathrm{el}}$.
态射 $\langle n \rangle (X_1,\cdots,X_n) \to \langle m \rangle (Y_1,\cdots,Y_m)$ 为惰性 (活性) 当且仅当每个成分 $\phi\colon \langle n\rangle \to \langle m \rangle$ 以及 $X_i \to Y_j$ 均为惰性 (活性).

一般地, 对于 $\Gamma^{\natural}$ 上的代数模式 $\mathcal O$ 以及任意代数模式 $\mathcal P$, 其圈积定义为 $$ \mathcal O \wr \mathcal P = \mathcal O \times_{\Gamma^{\natural}}(\Gamma\wr\mathcal P). $$

例

较为简单的例子在前面都已讲过.

Segal 态射 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$

结合代数的模式到交换代数的模式有一个重要的态射 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$.

函子层面, $\gamma$ 将 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\langle n \rangle\in\Gamma$, 详见 Segal 函子 $\gamma$. 唯一的基本对象 $[1]$ 对应基本对象 $\langle 1\rangle$.

态射 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ 对合适的范畴给出伴随 $$ \gamma_!\dashv\gamma^*\colon \mathsf{Seg}_{\Delta}(\mathcal C) \rightleftarrows \mathsf{Seg}_{\Gamma}(\mathcal C), $$ $$ \gamma_! A (\langle n \rangle) = \operatorname{colim}_{\langle n\rangle \to \langle m \rangle} A([m]). $$ 其中

右伴随 $\gamma^*$ 给出交换代数到结合代数的遗忘.
左伴随 $\gamma_!$ 在局部化后给出结合代数的交换化. 但是这样无法得到交换化的显式表达式. 如果将结合代数的模式替换为 $\mathsf{Assoc} \to \Gamma$ (下文), 就能得到一个不需要局部化的左伴随, 从而给出显式的交换化.

结合算畴作为代数模式

结合算畴 $\mathsf{Assoc}$ 作为 $\Gamma$ 上的代数模式:

对象为有限集 $\langle n\rangle$;
态射 $S \to T$ 将每个元素 $s\in T$ 对应到一个子集 $X_s$ 并赋予 $X_s$ 一个全序;
基本对象为 $\langle 1 \rangle$;
惰性和活性映射都与 $\Gamma$ 一致.

态射 $U\colon \mathsf{Assoc} \to \Gamma$ 是可扩张态射, 其左 Kan 扩张保持 Segal 条件. 结合代数的交换化由左 Kan 扩张的公式给出: $$ U_! A(\langle n \rangle) = \operatorname{colim}_{\langle n \rangle \to \langle m \rangle} A(\langle m \rangle). $$

交换代数中的交换代数

范畴 $\Gamma$ 有个乘法 $\land\colon \Gamma\times \Gamma \to \Gamma$, $\langle n\rangle \land \langle m \rangle = \langle nm \rangle$. (注意这不是 $\Gamma$ 中的范畴论乘积.) 由代数模式乘积的性质, 有函子 $$ \mathsf{Seg}_{\Gamma}(\mathcal C) \to \mathsf{Seg}_{\Gamma} (\mathsf{Seg}_{\Gamma} (\mathcal C)). $$

$\mathbb E_n$-代数与 $n$-范畴的模式

这里所说的 $n$-范畴是指 $(\infty,n)$-范畴.

回忆 Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是如下归纳定义的范畴:

$\Theta_0 = \{*\}$;
$\Theta_1 =$ $\Delta$;
$\Theta_n$ 的对象是 $[k](X_1,\cdots,X_k),X_i\in\Theta_{n-1}$, 而态射 $[k](X_1,\cdots,X_k) \to [\ell](Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 是一个偏序集映射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\widehat{\Theta}_{n-1}$ 中的映射 $X_j \to Y_{\phi(j-1)+1}\times\cdots\times Y_{\phi(j)}$ (按米田嵌入理解). 定义一个态射为活性 / 惰性映射当且仅当映射 $\phi$ 和所有 $X_j\to Y_i$ 为活性 / 惰性映射.

我们应该想象 $[k](X_1,\cdots,X_k),X_i\in\Theta_{n-1}$ 为一个长为 $n$ 的 $\widehat {\Theta}_{n-1}$-充实范畴, 每相邻两个对象之间的态射对象是 $\Theta_{n-1}$ 的一个对象 $X_i$, 不相邻的两个对象之间的态射对象是中间所有态射对象的乘积 (不落在 $\Theta_n$ 中, 所以用预层范畴来充实). 这样, $\Theta_n$ 的态射也就很好理解了: 它就是 $\widehat {\Theta}_{n-1}$-充实范畴之间的充实函子.

归纳地定义对象 $C_n \in \Theta_n$:

$C_0 = * \in \Theta_0$;
$C_1 = [1] (C_0) \in \Theta_1$, 即 $[1]\in\Delta$;
$C_n = [1] (C_{n-1}) \in \Theta_n$.

牢记 “$n$-范畴就是充实于 $(n-1)$-范畴的范畴”, 我们应该将 $C_n$ 想象为用于探测 $n$-范畴中 $n$-态射的一个最基本的 $n$-胞腔.

令这些对象 $C_0,\cdots,C_n$ 为基本对象, 我们就得到了 $n$-范畴的底层结构: 一种没有任何代数运算的 $n$ 维 “图”.

若仅令 $C_n$ 一个对象为基本对象, 我们就得到了 $\mathbb E_n$-代数的底层结构.

另一个代数模式是 $\Delta^n$ 上的. 代数模式 $\Delta^n$ 就是 $\Delta$ 的 $n$ 次积 (代数模式的范畴具有有限积),

作为 $\mathbb E_n$-代数的模式时, 其唯一的基本对象为 $([1],\cdots,[1])$,
作为 $(\infty,n)$-范畴的模式时, 其基本对象为 $([i_1],\cdots,[i_n])\,(i_1,\cdots,i_n \in \{0,1\})$. (准确地说这样定义的 Segal 对象是 $n$ 重 Segal 生象, 还不是 $(\infty,n)$-范畴, 需要加一些完备性和退化性.)

$\Delta^n$ 中的惰性映射就是每个分量都惰性的映射.

由代数模式乘积的性质, $$ \mathsf{Seg}_{\Delta^n}(\mathcal C) \simeq \mathsf{Seg}_{\Delta}(\mathsf{Seg}_{\Delta}(\cdots\mathsf{Seg}_{\Delta}(\mathcal C)\cdots)). $$ 因此当 $\Delta$ 表示 $\mathbb E_1$-代数的模式时, $\Delta^n$ 是 $\mathbb E_n$-代数的模式.

归纳定义函子 $\tau_n\colon \Delta^n \to \Theta_n$:

$\tau_0\colon \Delta^0 = 1 \to 1 = \Theta_0$ 为恒等;
$\tau_1\colon \Delta \to \Theta_1$ 为恒等;
$\tau_n\colon \Delta^n \to \Theta_n$ 将 $([i_1],\cdots,[i_n])$ 对应到 $[i_1] (\tau_{n-1}([i_2],\cdots,[i_n]),\cdots,\tau_{n-1}([i_2],\cdots,[i_n]))$.

这给出一个 Segal 态射 $\Delta^n \to \Theta_n$. 要验证它是 Segal 态射, 只需验证函子 $$ \Delta^{n,\mathrm{el}}_{/X} \to (\Theta_n^{\mathrm{el}})_{/\tau_n X} $$ 是共首函子, 而这又等价于对任意基本对象 $E\in\Theta_n$ 到 $\tau_n X$ 的惰性映射 $E\to \tau_n X$, 范畴 $\{e\in\Delta^n \text{ 基本, }e\to X\text{ 惰性, }\tau_n e\to E\}$ 弱可缩. (下略)

直观上, Segal 态射 $\Delta^n \to \Theta_n$ 给出了 $(\infty,n)$-范畴的 “$n$ 个方向的复合”.

Barwick 算子范畴

设 $\Phi$ 为一个算子范畴, 记 $\Delta_\Phi$ 为 $\Phi$-序列的范畴, 其对象为有限全序集到 $\Phi$ 的函子, 态射为交换三角, 要求某些条件.

$\Phi = 1$ 时 $\Delta_\Phi = \Delta$;
$\Delta_{\mathsf{Fin}}$ 是 “带层级结构的树” 的范畴.

令基本对象为 $([0],*)$ 与 $([1],I\to *)$ ($*$ 表示终对象), 令态射为惰性映射当且仅当对应的 $\Delta$ 中的态射为惰性映射, 活性映射当且仅当对应的 $\Delta$ 中的态射为活性映射且自然变换为同构. 这定义了一个代数模式 $\Delta_{\Phi}$.

当 $\Phi = \mathsf{Fin}$ 时该代数模式的 Segal 对象正是 Lurie 的 $\infty$-算畴. 此外, CHH 证明了一系列等价 $$ \mathsf{Seg}_{\Omega} \overset{\simeq}{\to} \mathsf{Seg}_{\Delta_{\mathsf{Fin}}^1} \overset{\simeq}{\leftarrow}\mathsf{Seg}_{\Delta_{\mathsf{Fin}}}, $$ (其中 $\Delta_{\mathsf{Fin}}^1$ 是所有以 $*$ 结尾的 $\mathsf{Fin}$-序列的范畴) 从而说明算畴的所有定义等价.

关联页面

A_n-代数 [An-代数]

百科
SimplicialCat

观念

$\mathbb A_n$-代数是比结合代数弱一些的结构, 只要求 $n$ 个元素可以融贯地结合.

定义

通过代数模式

考虑代数模式 $\Delta_{\leq n} = \{[0],[1],\cdots,[n]\}$, 其中惰性映射为区间含入, 活性映射为保端点映射, 初等对象是 $[1]$. 该模式的 Segal 对象即为 $\mathbb A_n$-代数.

具体地, 对于积幺半范畴 $\mathcal C$, 其中的 $\mathbb A_n$-代数就是函子 $$ X\colon \Delta_{\leq n}^{\mathrm{op}} \to \mathcal C, $$ 满足 $$ X([k]) \overset{\simeq}{\to} X([1])^k\, (k\leq n). $$

对于 $\mathbb A_n$-幺半范畴 $\mathcal C$, 视为函子 $\Delta_{\leq n}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, 其中的 $\mathbb A_n$-代数可定义为自然变换 $$ \begin{array}{ccc} \Delta_{\leq n}^{\mathrm{op}} & \rightarrow & \mathsf{Cat} \\ |\!| & \Uparrow & \uparrow \\ \Delta_{\leq n}^{\mathrm{op}} & \rightarrow & 1. \end{array} $$

例

$n=1$: $\mathbb A_1$-代数 $A$ 就是带基点对象 $1\to A$.

$n=2$: $\mathbb A_2$-代数是 $\mathbb A_1$-代数 $A$ 加上一个运算 $m_2\colon A\otimes A \to A$, 没有任何条件.

$n=3$: $\mathbb A_3$-代数是 $\mathbb A_2$-代数 $A$ 加上一个运算 $m_3\colon A\otimes A\otimes A \to A$, 以及交换图 $$ \begin{array}{ccc} A\otimes A\otimes A & \rightarrow & A\otimes A \\ \downarrow & \searrow & \downarrow \\ A\otimes A & \rightarrow & A, \end{array} $$ 其中对角线的箭头是 $m_3$, 上边和左边分别是 1,2 分量和 2,3 分量的 $m_2$ 运算. 没有更多条件. 用阻碍的语言讲, $\mathbb A_2$-代数提升为 $\mathbb A_3$-代数的阻碍是 $S^0 \to \operatorname{Hom}(A\otimes A\otimes A, A)$ 沿 $S^0 \to *$ 延拓的阻碍.

$n=4$: $\mathbb A_4$-代数是 $\mathbb A_3$-代数加上一个运算 $m_4\colon A\otimes A\otimes A\otimes A \to A$, 以及 $\operatorname{Hom}(A\otimes A\otimes A\otimes A, A)$ 中的交换图 $$ \begin{array}{ccccc} ((xy)z)w & \rightarrow & (x(yz))w & \rightarrow & x((yz)w) \\ & \searrow & & & \downarrow \\ & & (xy)(zw) & \rightarrow & x(y(zw)), \end{array} $$ 可见这相当于一个映射 $S^1 \to \operatorname{Hom}(A\otimes A\otimes A\otimes A, A)$ 沿 $S^1 \to *$ 延拓的阻碍.

一般地, $\mathbb A_n$-代数提升为 $\mathbb A_{n+1}$-代数的阻碍是某个映射 $S^{n-2} \to \operatorname{Hom}(A\otimes A\otimes A, A)$ 沿 $S^{n-2} \to *$ 延拓的阻碍.

性质

截断情形

在 $(n,1)$-范畴中, $\mathbb A_{n+2}$-代数就已经是 $\mathbb A_{\infty}$-代数, 即结合代数.

HADR - 代数模式 [HADR-alg-patt]

讲稿
SimplicialCat

详见代数模式, 这里仅列举要点:

一个代数模式是一个范畴 $\mathcal O$ 配备分解系统 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$, 分别称为活性映射与惰性映射, 以及全子范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$, 称为基本对象的范畴.

我们的观念是

底层结构是基本对象的范畴 $\mathcal O_{\mathrm{el}}$ 上的预层;
代数模式所表达的结构是底层结构上的代数结构, 即单子性函子 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$;
代数模式只是代数结构的表现, 正如景是意象的表现.

代数模式 $\mathcal O$ 在积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的 Segal 对象是一个函子 $F\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{int}}}$ 是 $F|_{\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 的右 Kan 扩张.

重要的例子包括

Lurie 意义下的算畴是一种特殊的代数模式 $\mathcal O \to \Gamma$, 所谓弱 Segal 纤维化.

关于代数模式方向约定的解释. 在本页面与代数模式页面, 我们使用的方向约定 (即代数模式的底层范畴 $\mathcal O$ 及其子范畴的方向) 与 Chu–Haugseng 以及 Lurie 都相反. 我认为两种约定都有道理, 并且两者可以视为一对代数–几何对偶,

我们约定中的代数模式 $\mathcal O$ 可视为 “代数侧”, 其对象大致可理解为基本对象生成的自由代数对象, 态射可理解为变量代换, 例如 $\mathbb{Z}[t] \to \mathbb{Z}[x,y]$, $t\mapsto x+y$.
而 Chu–Haugseng 与 Lurie 约定中的范畴 $\mathcal O$ ($\mathcal O^{\otimes}$) 可视为对偶的 “几何侧”, 态射可视为运算, 例如 $\mathbb A^2 \to \mathbb A^1$, $(x,y)\mapsto x+y$.

例子: 游走的自同态

记录一个小例子, 可以作为习题检验自己对代数模式的理解.

考虑仅有一个点 $*$ 和一条边 $*\to *$ 的有向图, 问这个有向图自由生成的范畴是什么. 注意到它是 $\Delta_{\mathrm{el}}$ 上的预层范畴中的终对象, 通过右 Kan 扩张得到的代数模式 $\Delta_{\mathrm{int}}$ 的 Segal 对象 $$ X\colon \Delta_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}. $$ 仍是终对象 (右 Kan 扩张保持终对象): $$ X ([n]) = 1. $$ 我们通过左 Kan 扩张求其自由生成的 $\Delta$ 的 Segal 对象: $$ \operatorname{LKE}(X)([1]) = \operatorname{colim}_{[1] \to [n]} X([n]) = \big| \{[1]\to [n]\} \big|, $$ 其中 $|{-}|$ 表示取范畴的底层生象. 这个指标范畴认真写出来是:

对象为 $[1]\to [n]$,
态射为交换图 $\begin{array}{ccc} [1] & & \\ \downarrow & \searrow & \\ [n] & \rightarrowtail & [m] \end{array}$, 其中 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的.

断言. 指标范畴 $\{[1]\to [n]\}$ 是 $\mathbb{N}$ 个范畴的无交并, 其中每个部分都是弱可缩范畴.

为了证明上述断言, 考虑每个态射 $[1]\to [n]$ 的活性部分. 对指标范畴中的任意态射 $\begin{array}{ccc} [1] & & \\ \downarrow & \searrow & \\ [n] & \rightarrowtail & [m] \end{array}$, 由于 $[n]\rightarrowtail [m]$ 是惰性的, 其两边 $[1]\to [n]$ 和 $[1]\to [m]$ 的活性部分相同, 这就将指标范畴归为了 $\mathbb{N}$ 个连通分支. 另一方面, 设 $[1] \to [n]$ 的活性部分为 $[1] \to [k]$, 则由正交分解, 存在唯一的惰性映射 $[k]\rightarrowtail [n]$ 连接两者; 故这个连通分支是弱可缩的.

…

不难发现左 Kan 扩张给出的自由的 Segal 生象 $\operatorname{LKE}(X)$ 为游走的自同态 $\mathbf{B}\mathbb{N}$.

HADR - 算畴 [HADR-ope]

讲稿
SimplicialCat

代数模式 $\mathrm{Assoc}$

前面介绍的代数模式的态射 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ (另见 Segal 函子 $\gamma$) 未能通过左 Kan 扩张给出结合代数的交换化, 因为左 Kan 扩张不保持 Segal 条件. 事实上, 我们可以将 $\Delta$ 替换为 (或者说是补全为) $\Gamma$ 上的另一个代数模式 $\mathrm{Assoc} \to \Gamma$, 不改变其 Segal 对象, 同时又能通过左 Kan 扩张直接给出结合代数的交换化.

定义代数模式 $\mathrm{Assoc}$ 如下:

范畴 $\mathrm{Assoc}$ 的对象为 $\langle 0 \rangle, \langle 1 \rangle, \langle 2 \rangle, \cdots$, 态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$ 对每个 $i\in\{1,\cdots, n\}$ 赋予互不相交的子集 $S_i\subset \{1,\cdots,m\}$ 以及 $S_i$ 上的一个全序 (注意这是 $\mathrm{Assoc}$ 与 $\Gamma$ 的区别所在).
活性映射, 惰性映射与 $\Gamma$ 的定义相同, 即惰性映射为每个元素对应一个单元子集, 活性映射为所有像之并等于全集.
基本对象为 $\langle 1 \rangle$.

由定义很明显有代数模式的态射 $u\colon \mathrm{Assoc} \to \Gamma$ (甚至每个对象 $\langle n \rangle$ 在两种模式中所含的基本对象的范畴都相同, 都是 $n$ 个对象的离散范畴).

另外还有一个函子 $\Delta \to \mathrm{Assoc}$:

将 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\langle n \rangle \in \mathrm{Assoc}$,
单纯形映射 $[n] \to [m]$ 把 $[n]$ 的每个基本箭头 $0\to 1, 1\to 2,\cdots, (n-1)\to n$ 对应到 $[m]$ 的连续若干个 (也可能是零个) 箭头的复合; 这些箭头当然带有继承自 $[m]$ 的全序), 从而给出 $\mathrm{Assoc}$ 中的态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$.

这样我们可以看到 $\Delta$ 与 $\mathrm{Assoc}$ 的区别: $\Delta$ 中的态射是保序映射, 而 $\mathrm{Assoc}$ 的态射不必保序 (毕竟对象上本身没有序), 而是要在每个元素打到的子集上手动指定一个序.

尽管如此, 代数模式 $\mathrm{Assoc}$ 的 Segal 对象还是等同于结合代数. 直观上, 给定结合代数 $X$ 作为 Segal 对象 $X\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 要得到 Segal 对象 $X\colon \mathrm{Assoc}^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$, 即对每个态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$ 指定 $X^m \to X^n$, 只需要将 $X^m$ 重组为 $\prod_{i=1}^n X^{S_i}$, 排列每个 $S_i$, 然后将若干个 $X^{S_i}\to X$ 拼起来就可以了.

沿 $u\colon \mathrm{Assoc} \to \Gamma$ 的左 Kan 扩张给出

$$ u_! A = \operatorname{colim}_{\langle 1\rangle\leadsto\langle m \rangle} A^m. $$ (这里左 Kan 扩张公式中的指标范畴可以只取活性映射.) 注意到指标范畴的对象 $\langle 1\rangle\leadsto\langle m \rangle$ 上有对称群的作用, 我们看到任意 $m$ 个元素的不同顺序的乘法在 $u_! A$ 中都等同起来了.

Lurie 的算畴 (对称算畴)

上面介绍的 $\mathrm{Assoc}$ 是 Lurie HA 定义的算畴的一例. 其实 Lurie 的每个算畴都可视为代数模式.

在我们使用的约定中 (参见代数模式; 注意我们与 Lurie 相差一个反范畴), 一个算畴是一个函子 $$ p\colon \mathcal O \to \Gamma, $$ 记 $p^{-1}(\langle n\rangle)$ 为 $\mathcal O_{\langle n \rangle}$, 满足以下条件:

(惰性提升) $\Gamma$ 中每个惰性映射 $\langle n\rangle \rightarrowtail \langle m \rangle$ 都有沿 $p$ 的水平 (Cartesian) 提升, 且给出反向的函子 $\mathcal O_{\langle m \rangle} \to \mathcal O_{\langle n \rangle}$; 合起来这给出 $\Gamma_{\mathrm{int}}$ 上的拉回纤维化;
(Segal 条件) 由惰性映射 $\rho_i\colon \langle 1\rangle \rightarrowtail \langle n\rangle$ (将 $\{1\}$ 唯一的元素对应到单元子集 $\{i\}\subset \{1,\cdots,n\}$) 给出的态射 $\mathcal O_{\langle n \rangle} \to \prod_{i=1}^n \mathcal O_{\langle 1 \rangle}$ 是等价;
对于 $X\in\mathcal O_{\langle k\rangle}$, $Y\in\mathcal O_{\langle \ell\rangle}$ 以及 $\Gamma$ 中任意态射 $f\colon \langle k\rangle \to \langle \ell \rangle$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \prod_{i=1}^{k}\operatorname{Hom}^{f\rho_i}(X_i,Y), $$ 其中 $X_i$ 是 $X$ 根据第二条 (Segal 条件) 分解出的第 $i$ 分量.

我们构造 $\mathcal O$ 上的一个代数模式结构:

基本对象的范畴取 $\mathcal O_{\langle 1\rangle}$;
惰性映射就是定义中的惰性提升;
活性映射就是居于 $\Gamma$ 中的活性映射之上的映射.

上述结构的底不必为 $\Gamma$, 而是可以推广到任意代数模式上. 若代数模式的态射 $\mathcal O \to \mathcal P$ 满足上述条件, 则称之为弱 Segal 纤维化.

以下是一个对照表.

Lurie HA	HADR
$\mathcal O^{\otimes} \to \mathrm{N}(\mathrm{Fin}_*)$	$\mathcal O \to \Gamma$ (注意约定相反)
fibration of $\infty$-operads	弱 Segal 纤维化
coCartesian fibration of $\infty$-operads	Segal 纤维化

对称算畴的基本例子

例. 记 $\mathsf{Triv} := \Gamma_{\mathrm{int}} \to \Gamma$, 称之为平凡算畴. 平凡算畴的代数就是没有任何结构的对象.

例. 记 $\mathbb E_0 \to \Gamma$ 为 $\Gamma$ 中 “将每个元素对应到一个至多一元子集” 的映射构成的宽子范畴, $\mathbb E_0$-代数就是带基点对象.

例. $\Gamma$ 上的 Segal 纤维化 $\mathcal C \to \Gamma$, 对应于 Segal 对象 $\Gamma^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, 即对称幺半范畴 (其底层范畴为 $\mathcal C_{\langle 1\rangle}$); 它也构成对称算畴.

非对称算畴

称 $\Delta$ 上的弱 Segal 纤维化为非对称算畴. 直观上, 一个算畴给出一族无序 $n$ 元运算, 而一个非对称算畴给出一族有序 $n$ 元运算.

例. 记 $\Delta_{\leq n} \hookrightarrow \Delta$ 为对象 $[0],[1],\cdots,[n]$ 构成的全子范畴, 则 $\Delta_{\leq n}$ 继承 $\Delta$ 的代数模式结构, 构成一个非对称算畴; 称该模式为 $\mathbb A_n$.

算畴的操作

余积

对称算畴 $\mathcal C \to \Gamma$, $\mathcal D \to \Gamma$ 的余积为 $$ \mathcal C \times\mathcal D \to \Gamma\times\Gamma\overset{\times}{\to}\Gamma. $$ 其中 $\times\colon \Gamma\times\Gamma\to\Gamma$ 是 $\Gamma$ 中的范畴论积 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n + m \rangle$.

对称幺半包络

设 $\mathcal O$ 是可扩张代数模式, $p\colon \mathcal C \to \mathcal O$ 是弱 Segal 纤维化. 定义其 $\mathcal O$-幺半包络 (monoidal envelope) 为 $$ \operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal C) := \mathcal C \times_{\mathcal O}\operatorname{Act}(\mathcal O) = \{(c\in\mathcal C,\alpha\colon o\leadsto p(c))\}. $$ 它构成一个 $\mathcal O$-幺半范畴, 也即 Segal 纤维化 $\operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal C)\to \mathcal O$, 对应的函子 $\mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 为 $$ o\mapsto \{o\leadsto p(c)\}. $$

特别地, 取 $\mathcal O = \Gamma$, 我们就得到: 对任意对称算畴 $\mathcal C$, 其对称幺半包络 $\operatorname{Env}_{\Gamma}(\mathcal C)$ 是一个对称幺半范畴 $\Gamma^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Cat}$, $$ \langle n\rangle\mapsto \{\langle n \rangle \leadsto p(c)\}, $$ 其底层范畴为 $\{\langle 1 \rangle \leadsto p(c)\}$.

Joyal 范畴 Θn [Joyal范畴]

百科
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观念

Joyal 范畴 $\Theta_n$ 的对象是探测 $(\infty,n)$-范畴的基本单元, 是单纯形在 $(\infty,n)$-范畴理论中的推广.

定义

归纳定义

记 $\Delta$ 为单纯形范畴, $\Gamma$ 为 Segal 范畴 $\Gamma$, 有典范的函子 $\gamma\colon \Delta\to\Gamma$; 详见 Segal 函子 $\gamma$.

定义. Joyal 范畴 $\Theta_n$ 是 $n$ 个 $\Delta$ 的圈积, 带有典范函子 $|{-}|\colon \Theta_n \to \Gamma$.

该定义出自 Berger.

具体展开圈积 $\Theta_n = \Delta \wr \Theta_{n-1}$ 的定义, $\Theta_n$ 的归纳定义如下:

其对象形如 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$, 其中 $[k]\in\Delta$, $X_i\in\Theta_{n-1}$;
态射 $[k] (X_1,\cdots,X_k) \to [\ell] (Y_1,\cdots,Y_\ell)$ 包括单纯形的态射 $\phi\colon [k] \to [\ell]$ 以及 $\Theta_{n-1}$ 中的态射 $X_i \to Y_j$ ($\phi(i-1) < j \leq \phi(i)$);
函子 $|{-}|\colon \Theta_n\to\Gamma$ 定义为 $|[k] (X_1,\cdots,X_k)| = \prod_{i=1}^k |X_i|$ (注意 $\Gamma$ 中的积为 $\langle n \rangle \times \langle m \rangle = \langle n+m \rangle$).

直观上, $\Theta_n$ 的对象 $[k] (X_1,\cdots,X_k)$ 是一个充实于 $\widehat {\Theta_{n-1}}$, 以 $0,1,\cdots,k$ 为对象的范畴, 态射对象为 $\operatorname{Hom}(i-1,i)= X_i$.

如下是 $\Theta_3$ 的一个对象的示意:

这个对象写出来是

    [3] (
        [2] (
            [1] ([0]),
            [0]
        ),
        [0] (),
        [1] ([0])
    ).

$\Theta_n$ 的对象也可理解为类似树的结构, 不过与树不同的是, 每个 “结点” 被指定了一个层级 (一个自然数), 态射必须保持这个自然数.

嵌入

范畴 $\Theta_{n-1}$ 到 $\Theta_n$ 有不止一个合理的嵌入.

最符合直观的含入函子 $i_{n-1}\colon \Theta_{n-1} \to\Theta_n$ 是:

$i_0\colon \Theta_0 = \{[0]\} \hookrightarrow \Theta_1 = \Delta$;
$i_n ([k] (X_1,\cdots,X_k)) = [k] (i_{n-1}(X_1),\cdots,i_{n-1}(X_k))$.

直观上, $\Theta_{n-1}$ 的对象作为 $(n-1)$-范畴, 当然也可以视为 $n$-范畴, 只不过没有非平凡的 $n$-态射. 余极限 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 用的是这种嵌入.

另一个函子 $\sigma\colon \Theta_{n-1} \to \Theta_n$ (有时称为纬悬) 是 $$ \sigma (X) = [1] (X). $$ 直观上, 它有两个对象 $0,1$, 并且把 $X$ 的每个对象变为 $\sigma (X)$ 中的态射 $0\to 1$, 每个 $k$-态射提升为 $(k+1)$-态射.

作为球状集

范畴 $\Theta_n$ 的对象可视为球状集, 不过态射不仅有球状集映射. (事实上球状集映射恰为 $\Theta_n$ 上代数模式结构中的惰性映射.)

通过组合 $n$-圆盘

范畴 $\Theta_n$ 可通过 Joyal 的 “组合 $n$-圆盘” 直接定义.

性质

稠密性

我们知道

$n$-范畴等同于 $\mathsf{Cat}_{n-1}$-充实范畴: $\mathsf{Cat}_n \simeq \mathsf{Cat}_{n-1}\text{-}\mathsf{Cat}$;
圈积有这样的性质, 若 $\mathcal A\subset \mathcal V$ 稠密, 则 $\Delta\wr \mathcal A \subset \mathcal V\text{-}\mathsf{Cat}$ 稠密;

于是归纳可以证明 $\Theta_n\subset\mathsf{Cat}_n$ 稠密.

代数模式

范畴 $\Theta_n$ 可用于定义 $n$-范畴以及 $\mathbb E_n$-代数的代数模式.

Segal 函子 γ [Segal函子γ]

百科
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定义

直接定义

Segal 函子 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ 是单纯形范畴 $\Delta$ 到 Segal 范畴 $\Gamma$ 的一个函子,

$\gamma([n]) = \langle n\rangle$,
对于态射 $\varphi\colon [n] \to [m]$, $\gamma(\varphi)\colon \langle n\rangle \to \langle m\rangle$ 为态射 $$ i\mapsto (\varphi(i-1),\varphi(i)]. $$ 其中 $(a,b]$ 表示整数的左开右闭区间 $\{x\in \mathbb{Z}\mid a < x \leq b\}$.

直观上, $\gamma$ 将一个单纯形映射到其中 “基本区间” 的集合. (这件事可以写成一个严格的命题, 见代数模式中的 “积性模式”.)

函子 $\gamma$ 还可推广到 $\Theta_n$ 上给出 $\gamma_n\colon \Theta_n \to \Gamma$.

通过 $S^1$

将单纯集 $\Delta^1$ 两端粘到一起, 定义 $$ S^1 := \operatorname{coeq}(\Delta^0 \rightrightarrows \Delta^1). $$ 其分量为 $$ (S^1)_m = \operatorname{Hom}_{\mathsf{sSet}}(\Delta^m,S^1) \simeq \underline{m}. $$ 可验证函子 $S^1\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Fin}_{*/}$ 在取反范畴后正是前面定义的函子 $$ \gamma := (S^1)^{\mathrm{op}} \colon \Delta \to (\mathsf{Fin}_{*/})^{\mathrm{op}} = \Gamma. $$

Segal 对象 [Segal空间]

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观念

Segal 对象是用于定义范畴对象 (如 $(\infty,1)$-范畴) 的一个中间概念. 假设我们要在生象概念的基础上定义范畴, 我们可以采用脉的观念, 对一个假想的 $(\infty,1)$-范畴 $\mathcal C$, 用各个单形 $[n]$ 探测之, 得到单纯生象 $N(\mathcal C)$: $$ N(\mathcal C)_n = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Cat}_{(\infty,1)}}([n],\mathcal C) = \operatorname{Fun}([n],\mathcal C)^{\simeq}, $$ 其中 $(-)^\simeq$ 表示取范畴的对象的生象. 这一过程又称为 Rezk 脉. 由设想, 这个单纯对象必须将单形之间的拼接 (余极限) 变为生象的极限, 这便是 Segal 对象的条件.

范畴的 Segal 条件可推广为 (或者说启发了) 代数模式的 Segal 条件.

Segal 对象要表达范畴的概念还需要具有 “完备性” (类似于泛等性). 见范畴对象.

定义

一个 Segal 生象是一个单纯生象 $X \colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}$, 满足对任意 $m,n\in\mathbb{N}$, 下图为拉回. $$ \begin{array} {ccc} X_{m+n} & \to & X_m \\ \downarrow && \downarrow \\ X_n & \to & X_0 \end{array} $$ 该图来自 $\Delta$ 中的如下交换图. $$ \begin{array} {ccc} \{0 < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{0 < \cdots < m\} \\ \uparrow && \uparrow \\ \{m < \cdots < m+n\} & \leftarrow & \{m\} \end{array} $$

完备 Segal 生象

对于 Segal 生象 $X$ 中的 $1$-单形 $f \in X_1$, 若 $f$ 既有左逆又有右逆 (具体地, 存在 $\sigma,\tau \in X_2$ 使得 $d_0\sigma = f = d_2\tau$, 且 $d_1\sigma, d_1\tau$ 均落在 $s \colon X_0 \to X_1$ 的像中), 则称 $f$ 为等价.

对于 Segal 生象 $X$, 记 $X_1^{\simeq}\subseteq X_1$ 为 $X_1$ 中的等价构成的子生象; 若 $s \colon X_0 \to X_1^\simeq$ 为生象的等价, 则称 $X$ 为完备 Segal 生象.

完备 Segal 生象也可等价地定义为关于 $N(0\overset{\simeq}{\to} 1) \to {*}$ 的局部对象.

完备 Segal 生象等同于 $(\infty,1)$-范畴. 另见范畴对象.

例

群胚对象

群胚对象是重要的 Segal 对象.

Segal 范畴 Γ [Segal范畴Γ]

百科
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观念

定义

直接定义

Segal 范畴 $\Gamma$ 是带基点有限集范畴的反范畴: $$ \Gamma := \mathsf{Fin}_*^{\mathrm{op}}. $$ 记 $\mathsf{Fin}_*$ 的对象 $\{*,1,\cdots,n\}$ 在 $\Gamma$ 中的对应物为 $\langle n\rangle$.

范畴 $\Gamma$ 的态射可描述如下: 态射 $\langle n\rangle \to \langle m\rangle$ 将每个 $1\leq i\leq n$ 对应到 $\{1,\cdots,m\}$ 的一个子集, 这些子集互不相交.

通过泛性质

称具有零对象和有限积的范畴为半加性范畴.

定义. Segal 范畴 $\Gamma$ 是一个对象生成的自由半加性范畴.

性质

Segal 范畴 $\Gamma$ 的零对象为 $\langle 0\rangle$, 积为 $$ \langle n\rangle\times \langle m\rangle = \langle n+m\rangle. $$ 特别地, $$ \langle n\rangle = \langle 1\rangle^{\times n}. $$ 这说明 $\Gamma$ 是一个 Lawvere 理论. 事实上, 它正是带基点对象的 Lawvere 理论, 即任何积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的带基点对象等同于保持有限积的函子 $\Gamma \to \mathcal C$.

张量积

范畴 $\Gamma$ 带有一个张量积 $\otimes\colon \Gamma\times\Gamma \to \Gamma$, $$ \langle n\rangle\otimes \langle m\rangle = \langle nm\rangle. $$

它对应带基点有限集的压缩积 $\land\colon \mathsf{Fin}_*\times\mathsf{Fin}_* \to \mathsf{Fin}_*$.

这个张量积既不是范畴论积, 也不是范畴论和.

与单纯形范畴的关系

单纯形范畴 $\Delta$ 到 $\Gamma$ 有一函子, 将对象 $[n]\in\Delta$ 对应到 $\langle n\rangle\in\Gamma$. 详见 Segal 函子 $\gamma$.

代数模式

范畴 $\Gamma$ 可用于定义 $\mathbb E_\infty$-代数的代数模式. 例如 $\mathsf{Ani}$ 中的交换代数等同于 $\Gamma$-空间 $$ F\colon \Gamma^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Ani}, $$ 满足 $F(\langle n\rangle) \simeq F(\langle 1 \rangle)^n$. 这种函子又称为 Segal $\Gamma$-生象. 该函子与函子 $\gamma\colon \Delta \to \Gamma$ 的复合给出交换代数到结合代数的遗忘, 沿 $\gamma$ 的左 Kan 扩张给出相应的自由函子.

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SimplicialCat

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n 重范畴 [n-重范畴]

观念

$n$ 重范畴 ($n$-fold category) 是有 $n$ 类互相独立的态射的范畴. 可以归纳地定义 $n$ 重范畴为 $(n-1)$ 重范畴之中的范畴对象.

定义

归纳定义

归纳地定义 $n$ 重范畴:

$0$ 重范畴就是生象.
对于 $n\geq 1$, $n$ 重范畴是 $(n-1)$ 重范畴的范畴中的范畴对象 (即完备 Segal 对象).

通过代数模式定义

$n$ 重范畴可用代数模式 $\Delta^n$ 的 Segal 对象附加完备性条件来定义. 具体地, $\Delta^n$ 的一个 Segal 对象是一个函子 $$ X\colon (\Delta^n)^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Ani}, $$ 即一个 $n$ 重单纯生象, 满足 Segal 条件 $$ X(\cdots,[k],\cdots)\simeq X(\cdots,[1],\cdots)^{\times_{X(\cdots,[0],\cdots)}k}. $$ 而 $n$ 重范畴则可定义为满足每个分量的完备性的 Segal 对象.

性质

与 $n$-范畴的联系

$n$-范畴可视为某些方向退化的 $n$ 重范畴.

例

外张量积

给定范畴 $\mathcal C_1,\cdots,\mathcal C_n$, 可构造 $n$ 重范畴 $\mathcal C_1 \boxtimes\cdots\boxtimes\mathcal C_n$, $$ ([k_1],\cdots,[k_n]) \mapsto \mathcal C_1 ([k_1])\times\cdots\times\mathcal C_n ([k_n]). $$

景的二重范畴

景构成一个二重范畴 (double category). 两类态射分别称为景的态射和余态射.

正交分解系与二重范畴

Branko Juran 证明每个正交分解系都可视为一个二重范畴, 两类态射分别就是分解系中的两类态射.

来自正交分解系的二重范畴称为分解二重范畴.

不妨采取如下约定 (参考 Blom–Loubaton–Ruit, 其与 Juran 约定相反): 正交分解系中的左类在二重范畴中为纵向态射, 右类为横向态射. (相反的约定当然也可以.)

若将二重范畴视为 $\mathsf{Cat}$ 中的完备 Segal 对象 $\mathcal C \colon \Delta^{\mathrm{op}}\to \mathsf{Cat}$, 其中

$\mathcal C_0$ 的态射视为纵向态射,
$\mathcal C_1$ 的对象视为横向态射,
$\mathcal C_1$ 的态射视为方块 (即 $\mathcal C$ 作为双单纯对象时在 $([1],[1])$ 上的元素),

则 $\mathcal C$ 为分解二重范畴当且仅当 “取横向态射的终点” 函子 $t\colon \mathcal C_1 \to \mathcal C_0$ 为推前纤维化. 这个条件是直观的: 每个图 $$ \begin{array}{ccc} \bullet & \rightarrow & \bullet \\ & & \downarrow \\ & & \bullet \end{array} $$ 都能唯一地填充为方块. 这对应着分解系统中 “将错误顺序的复合变为正确顺序的复合” 的操作.

同伦假设 [notes-HH]

笔记
SimplicialCat

本文是用现代语言对 OpenAI 2026 年 10 月在 Github 仓库发布的文章的解读.

背景

Grothendieck 同伦假设说的是一类球状集上由所谓 Grothendieck 融贯子 (coherator) 定义的代数结构 ¹ 构成的 $(1,1)$-范畴在适当的局部化之下可以用来表现同伦型的 $(\infty,1)$-范畴, 即今天所谓生象的范畴 $\mathsf{Ani}$.

我们知道单纯集的范畴 $\mathsf{sSet}$ 已经可以表现 $\mathsf{Ani}$. 但 “球状集 + 融贯子” 的路线仍有一些优越性.

传统上称为弱球状 $\infty$-群胚 (weak globular $\infty$-groupoids), “弱” 的意思是其中结合律之类的 “等式” 是由更高维胞腔给出的. 人们还考虑过另一个概念 (模型), 叫做严格 (球状) $\infty$-群胚, 它不足以涵盖所有同伦型. 今天 “$\infty$-群胚” 的含义已经变化, 成为了一个模型无关的概念, 故我们放弃 “弱 … $\infty$-群胚” 这个名称, 换用更直白的说法: 由融贯子定义的代数结构.

OpenAI 的文章延续 Simon Henry 文章的思路, 解决了其中的一个引理, 从而完成了同伦假设的证明. 两篇文章都使用模型范畴语言. 但即使剥去模型, 两篇文章仍有实质内容, 本笔记的目的即是解读其中的 “模型无关” 内容.

基本概念速览

本节总结用现代语言理解文章所需的基本概念. 欲了解详细内容请点击相应链接.

Joyal 范畴 $\Theta$ 由用于探测 $(\infty,n)$-范畴的基本对象构成, 如下是其一个对象的示意.

记 $\Theta_0$ 为 $\Theta$ 中惰性映射构成的宽子范畴. 所谓惰性映射是不承载代数运算的映射, 在这里就是指 $\Theta$ 的对象作为球状集的含入映射.

一个融贯子 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 是向 $\Theta_0$ 添加一些活性映射所得的一种代数模式, 直观上是指定球状结构中 “态射” 如何 “复合”, 满足何种 “结合律” 的方式. 代数模式的基本对象为胞腔 $D_0, D_1, D_2,\cdots$. 基本对象与惰性映射构成范畴 $\Theta_{\mathrm{el}}$, 球状集正是 $\Theta_{\mathrm{el}}$ 上的预层.

定义一个融贯子 $\mathcal C$ 的模型为其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象: $$ \mathsf{Mod}(\mathcal C) := \mathsf{Seg}_{\mathcal C} (\mathsf{Set}). $$ 不同的融贯子会给出不同的模型的范畴 (作为 $(1,1)$-范畴), 而同伦假设告诉我们在适当的 “弱等价” 概念的局部化之下, 这些范畴表现同一个 $(\infty,1)$-范畴, 也就是 $\mathsf{Ani}$.

记号

对于融贯子的模型 $X$, 它首先是一个球状集; 对任何球状集有如下运算 (实际上是 “惰性” 运算):

以 $\alpha\colon u \to v$ 表示胞腔 $\alpha$ 以 $u,v$ 为起点和终点;
对于 $r$-胞腔 $\alpha$ 与 $i < r$, 以 $s_i\alpha$ 表示迭代 “起点” 运算 $s$ 得到的 $i$-胞腔 $ss\cdots s\alpha$, 类似地定义 $t_i\alpha$.

由于融贯子的定义, 可选定融贯子中的一系列填充, 使得其每个模型 $X$ 获得如下代数运算 (“活性” 运算):

对于 $X$ 的每个 $p$-胞腔 $u$ 给出一个 $(p+1)$-胞腔 $e(u)\colon u\to u$ (“恒等”), 以 $e_p^q (u)$ 表示迭代到 $q$-胞腔;
对于 $X$ 的每个 $r$-胞腔 $\alpha,\beta$ 与 $i < r$, 满足 $s_i\beta = t_i\alpha$, 给出一个 $r$-胞腔 $\alpha *_i \beta$ (“第 $i$ 方向复合”), 满足 $s_i (\alpha *_i \beta) = s_i \alpha$, $t_i (\alpha *_i \beta) = t_i \beta$;
对于 $X$ 的每个 $r$-胞腔 $\alpha$ 与 $i < r$, 给出一个 $r$-胞腔 $w_i (\alpha)$ (“第 $i$ 方向取逆”), 满足 $s_i w_i \alpha = t_i \alpha$, $t_i w_i \alpha = s_i \alpha$.

注意.

这些操作的定义涉及一个手动的、额外的选择, 因为融贯子只要求了填充存在; 这些选择不由 $\mathcal C$ 决定, 但由我们一劳永逸地手动固定.
尽管如此, 请细心的读者分辨上面所说的现象和用 Kan 复形作为生象的模型时的 “填充不唯一” 不是同一层面的现象:
- 在这里我们遇到的是理论层面的填充不唯一, 而 Kan 复形则面对模型层面的填充不唯一;
- 在我们选定了一个融贯子中的上述填充之后, 它的所有模型立刻获得了明确的填充运算.

考虑沿代数模式 $\mathcal C$ 到终模式 $1$ 的态射的左 Kan 扩张, 即余极限函子 $$ L := \operatorname{colim}_{\mathcal C^{\mathrm{op}}} \colon \mathsf{Seg}_{\mathcal C}(\mathsf{Ani}) \to \mathsf{Seg}_1(\mathsf{Ani}) = \mathsf{Ani}. $$

限制在 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象的全子范畴, 有函子 $$ \mathsf{Mod}(\mathcal C) \to \mathsf{Ani}.\,(\star) $$ 要证明同伦假设, 我们手动定义 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 上的弱等价 $\mathcal W$, 然后证明 $(\star)$ 是关于 $\mathcal W$ 的局部化: $$ \mathsf{Mod}(\mathcal C)[\mathcal W^{-1}] \overset{\simeq}{\to} \mathsf{Ani}. $$

同伦群

设 $X$ 为融贯子 $\mathcal C$ 的模型, 定义其同伦集 $\pi_r$:

对于平行 $(r-1)$-胞腔 $u,v$ 以及 $\alpha,\beta\colon u\to v$, 定义 $\alpha \sim \beta$ 表示存在 $(r+1)$-胞腔 $\gamma\colon \alpha\to\beta$. 定义 $$ \pi_r(X;u,v) := \{\alpha\colon u\to v\}/\sim\,(r\geq 1), $$ $$ \pi_0 (X) := X_0 / \sim. $$ 对 $x\in X_0$ 定义 $$ \pi_r (X,x) := \pi_r (X;e_0^{r-1}(x),e_0^{r-1}(x)). $$

容易相信, $\pi_r (X,x)$ 在 $r\geq 1$ 时有群结构.

注意, 同伦集以及其间的映射不依赖于 $\mathcal C$ 中活性运算的具体填充的选取.

定义. 令 $\mathcal W$ 为 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 中诱导所有 $\pi_0$ 与 $\pi_r (X,x)$ 双射的态射构成的类.

引理. 胞腔 $\alpha\colon u\to v$ 给出同伦集的双射 $$ \alpha * (-) \colon \pi_r (X;v,w) \to \pi_r (X; u,w). $$

引理. 对胞腔 $u$ 的顶点 $x$, 有双射 $\pi_r(X;u,u) \simeq\pi_r(X,x)$.

这两个引理的证明对于熟悉拓扑学的人都是直观的. 关键在于为了构造 “除法” 即 $\alpha * (-)$ 的逆运算, 需要

命题 (弱等价检验). 对于 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 中的态射 $f\colon X\to Y$, 如下条件等价.

$f\in\mathcal W$.
$f$ 在 $\pi_0$ 上为单射, 且对 $r\geq 1$ 与每对平行胞腔 $u,v$, 给出双射 $\pi_r (X;u,v) \to \pi_r (Y;fu,fv)$.
对任意 $r\geq 0$, $b\colon \partial D_r \to X$, 以及 $Y$ 中以 $fb$ 为边界的 $r$ 维胞腔 $y$, 都存在 $X$ 中以 $b$ 为边界的 $r$ 维胞腔 $x$ 以及 $Y$ 中的 $(r+1)$ 维胞腔 $fx \to y$.

证明. 使用前面两个引理, 证明不难.

称 $X\in\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 可缩是指 $(X\to 1)\in\mathcal W$.

由弱等价检验的第 3 个条件, $X$ 弱可缩当且仅当 $X$ 中任意两个平行胞腔之间都有填充.

命题. $\mathcal W$ 满足 “三中之二” 性质, 关于箭头范畴中的收缩和滤余极限封闭. 这使 $(\mathsf{Mod}(\mathcal C),\mathcal W)$ 构成了一个带弱等价的范畴.

注意, “带弱等价的范畴” 这个概念与模型范畴没有必然联系.

基本扩张

考虑模型 $X\in\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 的 $n$ 维胞腔 $D_n \to X$. 定义其基本扩张为 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 中沿 $s \colon D_n \to D_{n+1}$ 的推出 $X \to X^+$, 也即自由地添加一个平行于 $\alpha$ 的 $n$ 维胞腔 $\beta$, 以一个 $(n+1)$ 维胞腔 $\gamma\colon \alpha\to\beta$ 相连. 当然, 由于模型的代数结构, 还会生成出许许多多的胞腔, 这正是这个概念的复杂所在.

OpenAI 文章证明的主定理, 也即 Simon Henry 遗留的关键引理是如下定理.

定理. 基本扩张是弱等价.

高阶范畴的流形图示 [notes-manifold-diagrams]

笔记
SimplicialCat

本文是 Lukas Heidemann 博士论文的阅读笔记.

引言

本文建立高阶范畴中的一种基于流形的图形演算 (graphical calculus), 它是线图的推广.

在流形图中, 维数最大的区域 (开区域) 代表范畴中的对象, 区域之间的余 $1$ 维界面代表 $1$-态射, …, 余 $k$ 维界面代表 $k$-态射.

流形图的拼接给出高阶态射的复合, 而形状本身就带有融贯性.

分层流形

拓扑空间的分层就是其到一个偏序集的映射, 其中偏序集带有 Alexandroff 拓扑.

分层空间 $X$ 上的标架是其到 $\mathbb{R}^n$ 的一个嵌入 $X\hookrightarrow\mathbb{R}^n$. 这里我们关心的其实是这个嵌入到后 $m$ 分量的投影定义的等价关系. 记 $\sim_m$ 为 $\mathbb{R}^n$ 上由 “后 $m$ 个分量相同” 定义的等价关系. 我们要求带标架分层空间之间的映射保持这些关系, 即若 $x\sim_m y$, 则 $f(x)\sim_m f(y)$. 例如下面三幅图中, 左边的竖线和中间的曲线是等同的, 而两者和右边的折返曲线是不同的.

下面三幅图中, 底层两个 $0$ 维的点可以左右移动, 左边和中间是等同的, 而两者和右边是不同的.

网格与桁架

网格

定义 (分层纤维丛). 满足如下条件的分层空间映射 $p\colon E\to B$ 称为分层纤维丛:

对任意点 $b\in B$, 设 $T_b\subset B$ 为其所在的层, 则存在 $b$ 在 $T_b$ 中的开邻域 $U$ (注意不一定是 $B$ 中的开邻域), 使得 $p\colon E|_U \to U$ 同构于一个形如 $U\times F\to U$ 的分层空间映射.

定义 (网格). 对自然数 $n$ 归纳定义 $n$ 维的闭网格:

$0$ 维闭网格是一个点;
$1$ 维闭网格是带有分层的闭区间, 其每一层都是单点或开区间;
$n+1$ 维闭网格是一个分层纤维丛 $E\to B$, 其中每个纤维都是闭区间, 且纤维的分层结构的每一层都是单点或开区间.

将上述定义中 “闭区间” 改为 “开区间”, 就得到开网格:

$1$ 维开网格是带有分层的开区间, 其每一层都是单点或开区间;
$n+1$ 维开网格是一个分层纤维丛 $E\to B$, 其中每个纤维都是开区间, 且纤维的分层结构的每一层都是单点或开区间.

注意上述定义可以容易地推广到开/闭 $n$-网格丛的定义. 而使用分层单形上的这种丛, 我们就可以定义开 $n$-网格的范畴 $\mathcal M^n$.

特别地, $1$ 维标准分层单形上的开 $n$-网格丛就是 $\mathcal M^n$ 中的态射, 也叫做配边 (bordism). (当然这和通常流形的配边不太一样, 只是借用了名字.)

命题. 闭网格的范畴是开网格的范畴的反范畴: $\overline{\mathcal M}^n \simeq (\mathcal M^n)^{\mathrm{op}}$.

例如, 下图中的 “田” 字形闭网格 $\text{田}\in\overline{\mathcal M}^2$ 对应于 “井” 字形开网格 $\text{井}\in\mathcal M^2$.

桁架

桁架是网格的纯组合版本, 是网格的出路范畴的隐喻; 桁架的范畴和网格的范畴等价.

定义 (桁架).

$1$ 维闭桁架的范畴为 $\Delta^{\mathrm{op}}$.
$1$ 维开桁架的范畴为 $\mathcal{T}^1 := \Delta$.
$n+1$ 维开桁架 $T$ 是一个 zig-zag $$ T_{r_0}\leftarrow T_{s_0} \to T_{r_1}\leftarrow\cdots\to T_{r_n}, $$ 其中每个 $T_{r_i},T_{s_i}$ 都是 $n$ 维开桁架, 态射是偏序集映射 $\alpha\colon [n]\to [m]$ 以及一些态射
- $T_{r_i} \to S_{r_{\alpha(i)}}$,
- $T_{s_i} \to S_{s_j}$ ($\alpha(i)\leq j <\alpha (i+1)$),
- $T_{s_i} \to S_{r_j}$ ($\alpha(i)\leq j \leq\alpha (i+1)$).

我们通过一个多项式函子归纳定义高维的开桁架:

由于开 $1$-桁架的范畴为 $\Delta$, 同时一个开 $1$-桁架自身也可视为一个偏序集, 我们可以考虑 “万有开 $1$-桁架丛”, 即一个纤维范畴 $$ p\colon \mathcal {T}^1_*\to \Delta, $$ (实际上是一个 Conduché 纤维化, 即 $\mathsf{Cat}$ 中可作指数的态射)

其落在 $[n]$ 上的纤维 $p^{-1}([n])$ 恰为 $[n]$ 对应的开 $1$-桁架 $$ r_0[n] \leftarrow s_0[n] \to r_1[n]\leftarrow s_1[n]\to\cdots \to r_n[n], $$ (注意它正是开 $1$-网格的出路范畴)
其落在 $\alpha\colon [n]\to [m]$ 上的态射为 $r_i [n] \to r_{\alpha(i)} [m]$, $s_i[n] \to s_j [m]$ ($\alpha(i)\leq j <\alpha (i+1)$), $s_i[n]\to r_j [m]$ ($\alpha(i)\leq j \leq\alpha (i+1)$).

考虑 $\mathsf{Cat}$ 中的多项式 $$ {*} \leftarrow \mathcal{T}^1_{*} \to \Delta \to *, $$ 其给出多项式函子 $$ \operatorname{T}^1\colon \mathcal C\mapsto \int_{[n]\in\Delta} \mathcal C^{p^{-1}([n])}. $$ 直观上, $\operatorname{T}^1 (\mathcal C)$ 的对象为 “带 $\mathcal C$ 标签的 $1$-桁架”.

原子与胞腔, 奇异型

定义.

称偏序集有最小元的开 $n$-网格为原子.
称偏序集有最大元的闭 $n$-网格为胞腔.

定义 (奇异型) 对于原子或胞腔 $X$, 由定义其为一串分层纤维丛 $$ X = X_n \overset{f_{n}}{\to} X_{n-1} \to \cdots \overset{f_1}{\to} X_0 = *. $$ 定义 $X$ 的奇异型 (singularity type) $\operatorname{stype}(X)$ 为 0-1 序列 $[k_1,\cdots,k_n]\in\Delta^n$, $k_i$ 当 $X_i\to X_{i-1}$ 为平凡分层纤维丛时取 $0$, 否则取 $1$.

构造. 设 $M\to P$ 为开 $n$-网格, 对 $p\in P$, 记包含 $p$ 的最小的开子网格为 $\operatorname{atom}_M(p)\subset M$; 它是一个原子. 所有这样的子网格 $\operatorname{atom}_M (p)\to M$ 构成 $n$-网格范畴中的余极限余锥.

开网格的代数模式

本节描述开 $n$-网格或开 $n$-桁架如何构成一个代数模式 $\mathcal T^n$, 基本对象为原子, 惰性映射为嵌入.

活性映射

定义. 对于开 $n$-网格的配边, 即 $\mathcal M^n$ 中的态射 $X\to Y$, 对应于开 $n$-网格丛 $E\to \|\Delta [1]\|$, 若对任意 $p\in P_Y$, 存在 $q\in P_X$ 使得在 $P_E$ 中 $p\leq q$, 则称之为活性映射或活性配边.

其实直观上就是盖满了.

田字格

由开 $n$-网格与桁架的直观很明显有嵌入 $$ \boxplus\colon \Delta^n \hookrightarrow \mathcal M^n\simeq\mathcal T^n. $$

函子 $\boxplus\colon \Delta^n \to \mathcal T^n$ 诱导伴随 $$ (\boxplus^*\dashv \boxplus_*)\colon \widehat {\mathcal T^n} \rightleftarrows \widehat {\Delta^n}, $$ 其中右伴随 $\boxplus_*$ 为全忠实函子.

例. 设 $\mathcal C$ 为 $(\infty ,2)$-范畴, 视为 $2$ 重 Segal 生象. 设 $A$ 为如下原子.

我们计算 $\boxplus_*\mathcal C (A)$. 由预层之间伴随的公式, $$ (\boxplus_* \mathcal C)(A) = \operatorname{lim}_{[i,j]\to A}\mathcal C ([i,j]). $$ 给出其一个元素相当于对每个 $[i,j]\to A$ 给出相容的元素 $[i,j]\to\mathcal C$.

因此, $\boxplus_*\mathcal C (A)$ 的元素相当于 $\mathcal C$ 中的一个 $2$-态射 $fg\to h$.

命题. 伴随 $\boxplus^*\dashv \boxplus_*$ 限制到 Segal 对象之间的伴随 $$ (\boxplus^*\dashv \boxplus_*)\colon \mathsf{Seg}(\mathcal T^n) \rightleftarrows \mathsf{Seg}(\Delta^n). $$

证明. todo

正则 Segal 对象

定义 (正则性). 设 $F$ 是 $\mathcal M^n\simeq \mathcal T^n$ 上的预层. 若对每个原子 $A$, 如下方块为拉回, 则称 $F$ 正则: $$ \begin{array}{ccc} F(A) & \rightarrow & F(\square A) \\ \downarrow & & \downarrow \\ F(\partial A) & \rightarrow & F(\partial \square A), \end{array} $$ 其中 $$ F(\partial A) := \operatorname{lim}_{B\subsetneq A} F(B), $$ $$ \square A := \boxplus (\operatorname{stype}(A)). $$

直观上, $F(A)$ 的元素应当是一些低阶态射的复合 (对应 $F(\partial A)$ 的元素) 配上它们之间的一个 $n$-态射 (对应 $F(\square A)$ 的元素).

流形图

前面说明了开 $n$-网格可用于探测 $(\infty,n)$-范畴. 不过, 要想得到线图那样好用的图形演算, 我们还需要更灵活 (有更多自同构) 的探测对象, 比如允许更自由的同痕.

现在我们来定义本文的核心对象: $n$-流形图.

线图的一个重要性质是每一条线都有方向, 毕竟范畴中的态射有方向. 准确地说, 线图中的线在一个指定的方向上的投影必须是递增的. (有时具有伴随的态射可以允许一些线折返, 不过那是额外的条件了.) $n$-流形图也需要规定某种方向性, 其准确表述是如下的前进性 (progressivity).

定义. 一个原子是前进的是指:

其奇异深度 $\operatorname{sdepth}(A)$ 等于 $\ell(A)(\bot_A)$;
每个真子原子都是前进的.

定义. 标架基元 (framed basic) 是标架分层空间 $U$ 带有标签 $\ell(U)\colon \operatorname{Exit}(U) \to [n]$, 使得存在前进原子 $A$ 与细化映射 $A\to U$.

我们还需要排除一些投影之后产生歧义的图形.

定义. 称紧标架分层空间 $M$ 稳定是指: 对任意形变 $\widetilde M \to [0,1]$ (标架分层纤维丛, 满足 $M$ 为 $0$ 处的纤维, 且遗忘标架后为平凡分层纤维丛), 存在 $\varepsilon \in (0,1]$ 使得其在 $\left[0,\varepsilon\right)$ 上为平凡标架分层纤维丛. 称一般的标架分层空间稳定是指其紧子空间均稳定.

例. 如下标架基元 $U$ 由 $A$ 细化:

例. 如下是表达三个 $1$-态射复合的结合律的标架基元.

定义. $n$-流形图是满足某种驯顺条件的分层空间 $M$, 存在由稳定标架基元构成的覆盖.

同痕

线图最强大的地方就在于同痕不变性. 只要人们使用线图, 人们就会自动依赖这一性质. 例如辫幺半范畴 ($\mathbb E_2$-范畴) 的线图是 $\mathbb{R}^3$ 中的图, 辫操作可描述为几何上的操作, 其融贯性来自同痕; 这就是辫这个名字的由来.

所以 $n$-流形图最重要的性质也是同痕不变性. 在讨论同痕不变性之前我们需要定义同痕. 理想的情况是流形图构成一个生象 (实际上我们用 Kan 复形定义), 而同痕是这个生象中的等式 (道路). 要定义这个 Kan 复形只需要定义单形上的流形图丛.

定义. 一个 $n$-流形图丛是一个驯顺的 $n$-标架分层纤维丛 $p\colon E\to B$, 带 $[n]$ 中的标签, 其中 $B$ 带有平凡分层结构, 且每个纤维都是 $n$-流形图. 特别地, 作为普通拓扑空间的区间 $|\Delta [1]|$ 上的 $n$-流形图丛称为 $n$-流形图的同痕.

定义. 设一个 $n$-流形图丛是一个驯顺的 $n$-标架分层纤维丛 $p\colon E\to B$, 带 $[n]$ 中的标签, 其中 $B$ 带有平凡分层结构, 且每个纤维都是 $n$-流形图. 特别地, 作为普通拓扑空间的区间 $|\Delta [1]|$ 上的 $n$-流形图丛称为 $n$-流形图的同痕.

定义 ($n$-流形图的生象). 对 $\mathbb{R}^n$ 中的闭 $n$-网格 $X$ 可以定义 $X$ 上的 $n$-流形图的生象 $\mathbb D^n (X)$: 它具有一个 Kan 复形的表现, 其 $k$-单形是逐纤维正交于 $X$ 的 $n$-流形图丛 $E\to |\Delta [k]|$ (的等价类). (我们在此不解释何为正交性, 这只是一些微分拓扑的条件, 直观画出的任何图都满足这一条件.) 进一步, 该构造关于 $X$ 有函子性: $$ \mathbb D^n\colon \overline{\mathcal M}^n\simeq(\mathcal M^n)^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Ani}. $$

定理. $\mathbb D^n$ 是正则 Segal 对象.

这是一个奇妙的定理, 在我看来有些 “自指” 的性质; 这个定理的结论表明 $\mathbb D^n$ 可视为类似 $(\infty,n)$-范畴的东西, 而这个 “范畴” 包含了所有可能的范畴中的图表形状. 我们看一个例子.

例. 考虑如下的闭 $2$-网格 $X$.

由定义, $\mathbb D^2 (X)$ 是如下形状的流形图构成的 Kan 复形:

直观上, $X$ 上的流形图需要与 $X$ 交互良好:

穿过 $X$ 的水平墙壁必须横截 (原文中的正交性);
不能穿过 $X$ 中的竖直墙壁 (当然也不能穿过 $X$ 的节点).

Segal 条件在 $X$ 上说的是 $X$ 上的流形图可由其三个胞腔上在交界处相容的流形图决定.

例. 下图展示了 $\mathbb D^2(I^2)$ 中的一个环路:

断言. $\mathbb D^n$ 是每个标架基元的一个生成元自由生成的 Segal $\mathcal M^n$-对象.

例如 $\mathbb D^1$ 正是范畴 $\mathbf{B}\mathbb N$ 对应的 Segal $\mathcal M^1$-对象 (即 Segal 生象).

带标签的流形图

为了表达具体范畴中的图, 我们需要给流形图贴上标签.

$$ \mathcal M_{\mathrm{d}}^n \to \mathcal M^n [n] $$

$$ \Sigma\colon (\mathcal M_{\mathrm{d}}^n)^{\mathrm{op}} \to\mathsf{Ani} $$

Γ-空间 [Γ-空间]

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观念

Γ-空间可给出交换代数的一种定义 (见代数模式). 原理在于 $\Gamma$ 的对象是有限集, 态射是将每个元素对应到互不相交的子集, 这样的结构恰可用于探测一个积幺半范畴中的交换代数 $A$: 用有限集 $\langle n \rangle$ 探测的结果是 $A^n$, 而对于态射 $\langle n \rangle \to \langle m \rangle$, 相应的映射 $A^m \to A^n$ 是将 $m$ 个元素中的一部分相加得到的 $n$ 个元素.

定义

$\Gamma$-空间是指 Segal 范畴 $\Gamma$ 上的生象值预层.

性质

与谱的关系

设 $A$ 为 $\Gamma$-空间, 定义函子 $\underline{A}\colon \mathsf{Ani}_* \to \mathsf{Ani}_*$, $$ \underline{A}(X) = \int_{\langle n \rangle\in\Gamma} A(\langle n \rangle) \times X^n. $$ 这里 $X^{(-)}$ 是一个保持乘积的函子 $\Gamma\to\mathsf{Ani}$ (因为 $\Gamma$ 是带基点对象的 Lawvere 理论).

函子 $\underline{A}$ 也可视为如下的左 Kan 扩张. $$ \begin{array}{ccc} \Gamma^{\mathrm{op}} & \overset{A}{\to} & \mathsf{Ani}_* \\ |\!| & & \uparrow \\ \mathsf{Fin}_* & \hookrightarrow & \mathsf{Ani}_* \end{array} $$

回忆谱等同于满足切除性的函子 $\mathsf{Ani}_* \to \mathsf{Ani}_*$. todo

对于谱 $E\in\mathsf{Sp}$, 相应的 $\Gamma$-空间 $\Psi(E)$ 为 $$ \Psi (E) (\langle n \rangle) = \operatorname{Hom}_{\mathsf{Sp}}(\mathbb S^{\times n},E). $$

例

Eilenberg–Maclane 空间

对于 Abel 群 $A$, 定义 $\Gamma$-空间 $HA$: $$ HA(\langle n \rangle) = A^n. $$

这正是交换代数的模式之下 $A$ 作为 $\mathsf{Ani}$ 中的交换代数的定义.

(∞,n)-范畴 [∞-n-范畴]

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观念

$(\infty,n)$-范畴是具有至多 $n$ 阶不可逆态射的高阶范畴.

一般而言, 定义 $(\infty,n)$-范畴有两条路线:

一是表现, 即用基本对象和运算 (见代数模式) 来探测;
二是充实, 即 $n$-范畴充实于 $(n-1)$-范畴.

定义

作为 $n$ 重 Segal 生象

作为 $\Theta_n$-空间

$(\infty,n)$-范畴的一种定义是 $\Theta_n$-空间.

作为充实范畴

$(\infty,n)$-范畴可归纳地定义为充实于 $(\infty,n-1)$-范畴的范畴: $$ \mathsf{Cat}_{(\infty ,n+1)} := \mathsf{Cat}_{(\infty,n)}\text{-}\mathsf{Cat}. $$

分层树 [分层树]

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定义

普通分层树

分层树是有限集的序列 $$ 1 \leftarrow t_1 \leftarrow \cdots \leftarrow t_n, $$ 简记为 $[n;t]$. 分层树的态射 $[n;t] \to [m;s]$ 是偏序集映射 $\phi\colon [n] \to [m]$ 配上一族单射 $t_i \rightarrowtail s_{\phi (i)}$.

直观上一棵分层树就是一棵树的每个边带有一个自然数作为层级, 树的根是第 $0$ 层, $t_0 = 1$ (树只有一个根), 第 $n$ 层的边上面是第 $n+1$ 层, 映射 $t_n \leftarrow t_{n+1}$ 对第 $n+1$ 层的边指定其下方紧邻的边.

注.

分层树与树的区别在于态射: 分层树的态射必须把第 $i$ 层的边都映射到第 $\phi(i)$ 层的边, 而树的态射则可能将同一层的边映射到不同层的边.
尽管如此, 分层树和树都构成代数模式, 都可用于定义对称算畴, 多重范畴 (参见 CHH).

代数模式的分层树

普通的分层树是如下概念的特例. 设 $\mathcal O$ 为代数模式, 定义 $\mathcal O$-分层树为活性映射的序列 $$ t_0 \leadsto t_1 \leadsto \cdots \leadsto t_n, $$ 且 $t_0$ 为基本对象, 将分层树简记为 $[n;t]$. 分层树的态射 $[n;t] \to [m;s]$ 是偏序集映射 $\phi\colon [n] \to [m]$ 配上一族惰性映射 $t_i \rightarrowtail s_{\phi (i)}$.

注.

注意我们和另一些文献对于代数模式的约定相反.
有限集的映射 $t_1 \leftarrow t_2$ 等同于 $\Gamma$ 中的活性映射 $t_1 \leadsto t_2$, 而惰性映射 $t \rightarrowtail s$ 等同于有限集的单射 $t\hookrightarrow s$. 故普通的分层树是 $\mathcal O$-分层树在 $\mathcal O = \Gamma$ 的特例.

定义. 在 $\mathcal O$-分层树的范畴中,

对象 $[0;e]$ 称为根 ($e$ 为基本对象);
对象 $[1;e\leadsto t_1]$ 称为花冠.

性质

分层树的代数模式

前面说到代数模式 $\mathcal O$ 有分层树的概念, 这些分层树构成一个新的代数模式 $\Omega [\mathcal O]$, 其中

基本对象为根与花冠;
态射 $[n;t] \to [m;s]$ 为惰性映射, 当且仅当其对应的偏序集映射 $\phi\colon [n] \to [m]$ 为惰性映射 (区间含入);
态射 $[n;t] \to [m;s]$ 为活性映射, 当且仅当 $\phi\colon [n] \to [m]$ 为活性映射 (保端点), 且每个 $t_i \to s_{\phi (i)}$ 为等价.

可扩张代数模式 [可扩张代数模式]

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观念

每个代数模式 $\mathcal O$ 给出底层结构 $\widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}}$ 上的一个带元数的单子.

每个多项式单子都给出一个可扩张代数模式.

定义

设 $\mathcal O$ 为代数模式, 记 $j\colon \mathcal O_{\mathrm{int}}\to\mathcal O$ 为惰性映射的宽子范畴, $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 为基本对象的全子范畴.

回忆, $\mathcal O$ 的 Segal 对象就是指预层 $X\colon \mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathcal C$, 满足单位 $j^* X \to i_* i^* j^* X$ 为等价.

再引入一个记号: 定义 $$ \operatorname{Act}_{\mathcal O} := j_! 1\in\widehat {\mathcal O}. $$ 那么对 $o\in\mathcal O$, $\operatorname{Act}_{\mathcal O}(o)$ 为所有 $o$ 出发的活性映射构成的生象: $$ \operatorname{Act}_{\mathcal O}(o) = \operatorname{colim}_{o\leadsto x} 1 = \big|\{o\leadsto x\}\big|. $$ 直观上, $\operatorname{Act}_{\mathcal O}$ 作为一个元素 (更准确地说是每种颜色一个元素) 生成的自由代数, 是由这个代数模式中所有的运算构成的.

定义. 若以下等价条件成立, 则称 $\mathcal O$ 可扩张:

左 Kan 扩张 $j_!\colon \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}} \to \widehat {\mathcal O}$ 保持 Segal 对象, 换言之, 对于 $X\in\widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}$, 若 $X\overset{\simeq}{\to} i_*i^* X$, 则 $j^*j_! X\overset{\simeq}{\to} i_*i^*j^*j_! X$;

带元数的单子 [带元数的单子]

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观念

带元数的单子 (monad with arities) 是 Berger–Melliès–Weber 引入的概念, 能够表达以下结构:

直观上, 范畴 $\mathcal E$ 上的单子 $T$ 以子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为元数, 就是说为了表达一个 $T$-结构所需的运算, 只需用 $\mathcal A$ 的对象来探测. 进而 $T$-代数可以定义为满足某种条件的预层.

例如要表达一个生象 $X$ 上的一个幺半群结构, 只需要考虑所有有限集到 $X$ 的映射, 此时有限集 (的元素个数) 就对应运算的元数.

元数不一定是有限集. 例如要表达一个图 $G$ 上的范畴结构, 要考虑的是所有态射串的复合. 此时元数是形如 $\bullet\to\bullet\to\cdots\to\bullet$ 的有限图. 这样, 范畴就可以定义为单纯形范畴上满足某种条件的预层, 即单纯生象. 见 Segal 生象.

带元数的单子又被相对单子涵盖.

另见代数模式.

定义

设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 称为元数 (arities) 的范畴. 设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子. 记 $\mathcal E^T$ 为 $T$-代数的范畴, 带有自由-遗忘伴随 $F\dashv U\colon \mathcal E\rightleftarrows\mathcal E^{T}$.

回忆, 子范畴 $\mathcal A$ 的稠密性是指

脉函子 $$ \nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A} $$ 是全忠实函子;
$\mathcal E$ 的每个对象 $X$ 都是如下余极限: $$ X = \operatorname{colim}_{A\to X,A\in\mathcal A}A.\ (\star) $$

定义. 若单子 $T$ 满足以下等价条件, 则称单子 $T$ 以 $\mathcal A$ 为元数 (arity):

$\nu_{\mathcal A} T\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 保持所有形如 $(\star)$ 的余极限 (由于 $\nu_A$ 全忠实, 这蕴涵 $T$ 本身也保持 $\star$);
$\nu_{\mathcal A} T$ 是其在 $\mathcal A$ 上的限制的左 Kan 扩张.

或许 $(\star)$ 更有启发性的一种写法是写成余端 $$ X = \int_{A\in\mathcal A} \operatorname{Hom}(A,X)\times A, $$ 条件 $\nu_{\mathcal A}T$ 保持余极限 $(\star)$ 相当于 $$ \operatorname{Hom}(B,TX)=\int_{A\in\mathcal A}\operatorname{Hom}(A,X)\times\operatorname{Hom}(B,TA), $$ (我们后面会解读这个等式的含义) 而函子 $T$ 保持该余极限意味着 $$ TX = \int_{A\in\mathcal A} TA \times X^A. $$ (这里 $X^A$ 代表 $\operatorname{Hom}(A,X)$, 这样写只是为了更有启发性) 换言之, $T$ 具有以 $A\in\mathcal A$ 为 “次数”, $TA$ 为系数的 “多项式展开”. (参考多项式函子, 解析函子.)

范畴 $\Theta_T$

设 $T$ 为 $\mathcal E$ 上的单子, 定义 $\Theta_T$ 为 $\mathcal A$ 的对象生成的自由 $T$-代数构成的范畴. 那么有自由代数函子 $$ j_T\colon \mathcal A \to \Theta_T. $$

我们也可以将 $\Theta_T$ 的对象理解为 $\mathcal A$ 的对象 $A$, 而将 $\Theta_T$ 中的态射 $A\to B$ 理解为 $\mathcal E$ 中的态射 $A \to TB$. (这是 Kleisli 范畴的一个全子范畴.)

嵌入 $\Theta_T \hookrightarrow \mathcal E^T$ 也有相应的脉函子 $$ \nu_T \colon \mathcal E^T \to \widehat {\Theta_T}, $$ 且有交换方块 $$ \begin{CD} \mathcal E^T @>{\nu_T}>> \widehat {\Theta_T} \\ @V{U}VV @VV{j_T^*}V \\ \mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A}. \end{CD} \quad(\heartsuit) $$

注意到由于 $j_T$ 本质满, 故 $j_T^*$ 是单子性的保守函子.

命题. 如下三个条件等价:

$T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子;
交换方块 $(\heartsuit)$ 满足 Beck–Chevalley 条件, 即 Beck–Chevalley 自然变换 $(j_T)_!\nu_A \to \nu_T F$ 为同构.
自然变换 $j_T^*(j_T)_!\nu_A \to j_T^*\nu_T F= \nu_AUF =\nu_A T$ 为同构. (由于 $j_T^*$ 保守, 条件 2 与条件 3 明显等价.) 换言之, 存在单子的态射 $$ \begin{CD} \mathcal E @>{\nu_A}>> \widehat {\mathcal A} \\ @V{T}VV @VV{j^*j_!}V \\ \mathcal E @>>{\nu_A}> \widehat {\mathcal A.} \end{CD} $$

注. 这里的 Beck–Chevalley 自然变换的理解如下. 对于 $X\in\mathcal E$, 由左 Kan 扩张的余端公式, $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X$ 对每个元数的自由代数 $j_T A$ 给出 $$ \begin{aligned} [(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X] (j_T A) &=\int_{B\in \mathcal A}\operatorname{Hom}_{\Theta_T}(j_T A,j_T B)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X)\\ &=\int_{B\in\mathcal A}\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X), \end{aligned} $$ 即 “$A$ 个 $B$ 元运算” 搭配 “$B$ 个 $X$ 的元素”.

而自然变换的右边给出 $$ \begin{aligned} [\nu_T F(X)](j_T A) &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E^T}(FA,FX) \\ &=\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX), \end{aligned} $$ 即 “$A$ 个 $TX$ 的元素”.

自然变换 $(j_T)_!\nu_{\mathcal A} X\to\nu_T F (X)$ 由如下资料给出: $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TB)\times\operatorname{Hom}_{\mathcal E}(B,X) \to \operatorname{Hom}_{\mathcal E}(A,TX), $$ 即 “通过 $A$ 个 $B$ 元运算搭配 $B$ 个 $X$ 的元素, 给出 $A$ 个 $TX$ 的元素”. 而这个自然变换为同构, 直观上说的就是 $TX$ 的任何元素都由 $X$ 中的某 $B$ 个元素运算得到.

(例. 对任意集合 $X$, 其生成的自由群的每个元素均为 $X$ 中有限个元素的运算结果.)

证明. 注意到 $(j_T)_!$ 将可表函子对应到可表函子. 故条件 2 与条件 3 中的自然变换在子范畴 $\mathcal A$ 上总是同构. 现在任取 $X\in\mathcal E$, 将其表现为余极限 $$ X = \operatorname{colim}_{A\to X, A\in\mathcal A}A, $$ 假若单子 $T$ 保持该余极限, 那么条件 3 中的自然变换在 $X$ 上也是同构.

推论 (常称为脉定理). 设 $T$ 是以 $\mathcal A$ 为元数的单子, 那么

$\nu_T$ 为全忠实函子. 换言之, $T$-代数可由 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测;
对于 $\Theta_T$ 上的预层 $X$, 其落在 $\nu_T$ 的像中当且仅当其沿 $j_T$ 的限制落在 $\nu_A$ 的像中.

因此, $T$-代数可以定义为 $\Theta_T$ 上满足某种条件的预层.

证明. 将 $\mathcal E$ 等同于 $\nu_A\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像, 那么单子 $T$ 等同于单子 $j^*j_!$ 在 $\mathcal E$ 上的限制, 所以 $T$-代数等同于落在 $\mathcal E$ 中的 $j^*j_!$-代数, 而 $j_!\dashv j^*$ 单子性意味着 $j^*j_!$-代数就是 $\Theta_T$ 上的预层. $\square$

理论

上述范畴 $\Theta_T$ 及函子 $j_T\colon \mathcal A\to\Theta_T$ 可以抽象如下.

设 $\mathcal A\subset\mathcal E$ 为稠密全子范畴, 定义一个以 $\mathcal A$ 为元数的理论为一个本质满函子 $$ j\colon \mathcal A \to \Theta, $$ 使得伴随 $j_! \dashv j^*$ 诱导的单子 $j^*j_!\colon \widehat {\mathcal A} \to \widehat {\mathcal A}$ 保持脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E\to\widehat {\mathcal A}$ 的像.

该理论的一个模型是 $\Theta$ 上的一个预层, 满足其沿 $j$ 的限制落在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中.

我们应该将 $\Theta$ 理解为元数 $\mathcal A$ 生成的自由代数的范畴, 将 $j\colon \mathcal A \to\Theta$ 理解为自由函子.

单子给出理论. 由定义, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$, 有理论 $(\Theta_T,j_T)$.

理论恢复出单子. 由定义, 对理论 $(\Theta,j)$ 可以恢复出 $\mathcal E$ 上的一个单子 $T$: 若将 $\mathcal E$ 等同于 $\widehat {\mathcal A}$ 的子范畴, 那么单子 $T$ 等于 $j^*j_!$ 的限制.

例 (范畴的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Graph}$ (有向图的范畴), $\mathcal A = \Delta^{\mathrm{int}}$ 为有限长的链 $[n] = \{0\to 1\to\cdots\to n\}$ 构成的全子范畴. (注意 $\Delta^{\mathrm{int}}$ 中的态射只有 “区间含入”, 没有一般的全序集态射. $\mathrm{int}$ 是 “惰性” inert 的缩写, $\Delta^{\mathrm{int}}$ 这个记号暗示了它在代数模式中的作用.) 此时有一个理论 $j\colon \mathcal \Delta^{\mathrm{int}}\to \Delta$, 将图 $[n]$ 对应到全序集 $[n]$. 单子 $j^*j_!\colon \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}} \to \widehat {\Delta^{\mathrm{int}}}$ 为 $$ (j^*j_! X)([n]) = \int_{[m]}\operatorname{Hom}_{\Delta}([n],[m])\times X([m]). $$ 可以这样理解: 一个图 $G$ 的自由范畴 $\operatorname{Free}(G)$ 是一个更大的图, 通过 $G$ 上长为 $m$ 的道路以及全序集映射 $[n] \to [m]$ 可以给出 $\operatorname{Free}(G)$ 上长为 $n$ 的道路. 于是 $\mathsf{Graph}$ 上的自由范畴单子就是以所有有限长的链为元数的单子.

例 (交换代数的理论). 考虑 $\mathcal E = \mathsf{Ani}$, $\mathcal A = \mathsf{Fin}$, 有一个理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to$ … todo

定理. 对于固定的 $(\mathcal E,\mathcal A)$, $\mathcal E$ 上以 $\mathcal A$ 为元数的单子 $T$ 等价于以 $\mathcal A$ 为元数的理论 $j_T\colon \mathcal A\to \Theta_T$, 且单子 $T$ 上的代数等同于理论 $\Theta_T$ 的模型. 事实上, 这一对应构成范畴等价. (BMW, 定理 3.4)

模型条件表述为层条件. 常常 $\mathcal E = \widehat {\mathcal C}$ 是个预层范畴, 而 $\mathcal A$ 是包含了可表函子的一个子范畴 (那么 $\mathcal A$ 当然是稠密的, 因为可表函子是稠密的). 这时脉函子 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 构成意象之间的几何态射, 于是它的像恰好是 $\mathcal A$ 上由形如 $\{c\to a\mid c\in \mathcal C\}$ 的余锥生成的 Grothendieck 拓扑的层范畴. 这给出了判断预层是否在 $\nu_{\mathcal A}$ 的像中的一个稍微直接一点的条件. (注意, 这并不意味着理论 $(\Theta,j)$ 的模型的范畴是个意象.)

一般映射与自由映射

对于理论 $j\colon \mathcal A \to \Theta$, 称 $j$ 的像中的态射为自由映射, 而对 $\Theta$ 中的态射 $g$, 若对任意分解 $g = j(f) g'$, 都有 $f$ 可逆, 则称 $g$ 为一般映射.

例. 对于 $(\mathsf{Graph},\Delta^{\mathrm{el}})$ 上的理论 $(\Delta,j\colon \Delta^{\mathrm{el}}\to\Delta)$, 容易验证一般态射 $g$ 是保持端点的映射 (假设 $g=j(f)g'$, 则 $f$ 保持端点, 从而必为同构). 注意这里的一个重要性质: 若一个态射是区间含入, 且保持端点, 则其为同构.

例. 对于 $(\mathsf{Ani},\mathsf{Fin})$ 上的理论… todo

齐性理论

定义 (齐性理论, BMW 定义 3.9). 满足如下条件的理论 $(\Theta,j)$ 称为齐性理论:

$j\colon \mathcal A \to \Theta$ 忠实;
$\Theta$ 中的一般映射与自由映射构成正交分解系: 每个映射唯一地分解为先一个一般映射后一个自由映射, 一般映射关于复合封闭, 同为一般映射和自由映射的映射为等价.

例

Lawvere 理论

Lawvere 理论等同于 $\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的单子, 即保持滤余极限的单子 (这里用到 $\nu_{\mathsf{Fin}}$ 不仅保持而且反映滤余极限). 见有限性单子.

另一方面, Lawvere 理论也可视为上文所述的 “理论”. 回忆 Lawvere 理论的语法范畴 $\mathbb T$ 的对象形如 $1,x,x^2,\cdots$, 事实上在这里它对应理论 $j\colon \mathsf{Fin} \to \mathbb T^{\mathrm{op}}$, $\{1,\cdots,n\}\mapsto x^n$. 下面我们给出一个论证.

脉函子 $\nu_{\mathsf{Fin}}\colon \mathsf{Set} \to \widehat {\mathsf{Fin}}$ 的像为 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层, 也即元素范畴为滤范畴的预层. 因此,

$\mathsf{Set}$ 上以 $\mathsf{Fin}$ 为元数的理论

等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*j_!$ 保持平坦预层,

因为 $j_!$ 保持可表函子, 且 $j^*j_!$ 保持余极限, 上述结构又等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j^*$ 将 $\Theta$ 上的可表函子映射到 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层,

但 $\mathsf{Fin}$ 上的平坦预层就等同于保持有限积的函子 $\mathsf{Fin}^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$, 故上述结构等同于

本质满函子 $j\colon \mathsf{Fin} \to \Theta$, 满足 $j$ 保持有限余积.

这正是 Lawvere 理论的定义.

$\infty$-范畴

$(\infty,n)$-范畴

$\Theta_T$ 就是 Joyal 范畴 $\Theta_n$.

弱 Segal 纤维化 (代数体) [弱Segal纤维化]

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观念

定义

直接定义

代数模式之间的弱 Segal 纤维化是满足如下条件的态射 $p\colon \mathcal P \to \mathcal O$:

$\mathcal O$ 中的惰性映射存在水平提升 (换言之, 有函子 $\mathcal O_{\mathrm{int}}^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$, $N\mapsto \mathcal P_N$);
对任意 $N\in\mathcal O$, 函子 $\mathcal P_N \to \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail N}\mathcal P_{E}$ 为等价;
给定 $X \in \mathcal P_N$, $Y\in\mathcal P_M$ 以及 $\mathcal O$ 中的态射 $f\colon N\to M$, $$ \operatorname{Hom}^f(X,Y) \simeq \operatorname{lim}_{g\colon E\rightarrowtail N}\operatorname{Hom}^{fg}(g^*X,Y). $$

弱 Segal 纤维化之间的态射是保持惰性映射的水平提升的态射.

通过分层树的代数模式

Blom–Loubaton–Ruit 证明代数模式 $\mathcal O$ 上的弱 Segal 纤维化等同于 $\mathcal O$-分层树构成的代数模式 $\Omega [\mathcal O]$ 的完备 Segal 对象 (意思是其底层 Segal 生象为完备 Segal 生象): $$ \mathsf{WSegFib}_{\mathcal O} \simeq \mathsf{CSeg}(\Omega [\mathcal O]). $$

性质

与 Segal 纤维化的关系

代数模式 $\mathcal O$ 上的 Segal 纤维化是其 $\mathsf{Cat}$-值 Segal 对象 $\mathcal O^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Cat}$ 对应的 $\mathcal O$ 上的拉回纤维化.

Segal 纤维化的全体 $\mathsf{SegFib}_{\mathcal O}$ 是弱 Segal 纤维化的全体 $\mathsf{WSegFib}_{\mathcal O}$ 的自反子范畴: $$ (\operatorname{Env}_{\mathcal O} \dashv U)\colon \mathsf{WSegFib}_{\mathcal O}\rightleftarrows\mathsf{SegFib}_{\mathcal O}. $$

对于弱 Segal 纤维化 $p\colon \mathcal P \to \mathcal O$, 其反射称为 $\mathcal P$ 的 $\mathcal O$-幺半包络 (monoidal envelope): $$ \operatorname{Env}_{\mathcal O}(\mathcal P) := \mathcal P \times_{\mathcal O}\operatorname{Act}(\mathcal O) = \{(x\in\mathcal P,\alpha\colon o\leadsto p(x))\}, $$ 其带有到 $\mathcal O$ 的 Segal 纤维化 $\operatorname{Env}_{\mathcal O} (\mathcal P) \to \mathcal O$, $(x\in\mathcal P,\alpha\colon o\leadsto p(x)) \mapsto o$.

注意 $\operatorname{Env}_{\mathcal O} (\mathcal P)$ 一个直观: $\Gamma$ 上的弱 Segal 纤维化是多重范畴, 有多个对象到一个对象的态射, 但不一定有张量积; 其 $\Gamma$-幺半包络 (即对称幺半包络) 就是由所有形式记号 $x_1 \otimes \cdots\otimes x_n$ 构成的范畴, 满足态射 $x_1 \otimes \cdots\otimes x_n \to y$ 等同于原来多重范畴中的多重态射 $(x_1,\cdots,x_n) \to y$.

与松函子的关系

设 $\mathcal C \to \Gamma$, $\mathcal D \to \Gamma$ 为 Segal 纤维化, 对应两个对称幺半范畴. 将它们遗忘为弱 Segal 纤维化, 则弱 Segal 纤维化的态射 $\mathcal C \to \mathcal D$ 等同于 $\mathcal C$ 到 $\mathcal D$ 的余松对称幺半函子.

见松态射.

树 (范畴论) [树]

观念

树是表达 “多个对象到一个对象的态射” 以及这种态射的复合所需的基本结构. 因此, 可被树探测的对象 (即树形对象) 给出算畴 (多重范畴) 的一种定义.

这里所说的树特指有限, 有根 (rooted), 对称 (即一个节点上的边不计顺序) 的树.

定义

通过结点和边

树由结点 (vertex), 内边 (internal edge) 和外边 (external edge) 构成, 内边是两个结点之间的边, 外边是仅联系到一个结点的边; 每个结点有若干个 (可能是零个) 入边和一个出边. 整个树有一个唯一的根 (root), 即唯一指向外部的出边. 外部的入边称为叶 (leaf).

上图是一棵树的例子, 其中

$g$ 是根,
$e$ 是一个叶, 是外边, 是结点 $w$ 的入边,
$f$ 是内边, 是结点 $v$ 的出边, 也是结点 $w$ 的入边.

注意, 我们不要求树可以画在平面上. 同一结点的所有入边之间没有顺序.

作为偏序集

树的所有边的上下关系构成一个偏序. 具体地, 树可定义为满足如下条件的 (有限) 偏序集 $(P,\leq)$:

$P$ 有最小元 $\bot$ (即树的根);
对任意 $x\in P$, 不超过 $x$ 的元素的子集构成一个全序.

此时 $P$ 的极大元 (可能不唯一) 即是树的叶.

作为递归嵌套结构

树有一种递归定义:

平凡树 $\{\}$ 是树;
若 $x_1,\cdots,x_n$ 是树, 那么 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 也是树.

作为多项式

树还可以简洁地定义为 “多项式” (这个名词的直观参见多项式函子): $$ E\overset{s}{\leftarrow} M \overset{p}{\rightarrow} N \overset{t}{\to} E, $$ 其中

$E$ 是边的集合;
$N$ 是顶点的集合, $t\colon N\to E$ 给出顶点的唯一出边, 要求 $t$ 为单射;
$M$ 是边与顶点之间的 “入边” 关系, 分别带有到 $E$ 和 $N$ 的投影, 满足 $s\colon M\to E$ 为单射, 且 $E\setminus M$ 只有一个元素, 即树的根.

注意即使在生象语境中, 我们也要求树的定义中 $E,M,N$ 是集合 ($0$-截断生象). 因为上述定义中涉及的差集只对集合有意义.

但对于任意多项式函子 $P$ (其分量未必为集合) 我们可以定义 $P$-树, 即树 (作为多项式函子) 到 $P$ 的态射. 这里, 多项式 $X\overset{s}{\leftarrow} E \overset{p}{\rightarrow} B \overset{t}{\to} Y$ 中, $p\colon E\to B$ 的纤维要求为集合.

树的态射

树 $S$ 到 $T$ 的映射是如下资料:

将 $S$ 的每个结点 $n$ 对应到 $T$ 的一个子树 (例如下图中蓝色结点对应到右边蓝圈中的子树), 满足结点 $n$ 的入边数等于该子树的叶数;
将 $S$ 的每个边对应到 $T$ 的一个边, 且与结点的对应相容.

树的态射由如下几种基本态射生成:

树的同构;
退化 (degeneracy) $S \twoheadrightarrow T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 在一条边中间插入一个新结点所得 ($S$ 的这个新结点对应到无结点的子树);
内部面映射 (inner face map) $S \hookrightarrow T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 缩合一条内边所得;
外部面映射 (outer face map) $S \to T$, 其中 $S$ 是由 $T$ 剪除一个外顶点 (仅关联一条内边的顶点) 所得;

另一种概念性的理解是将树理解为特殊的多项式, 考虑多项式函子之间的态射 $$ \begin{CD} E @<{s}<< M @>{p}>> N @>{t}>> E \\ @VVV @VVV \square @VVV @VVV \\ E' @<<{s'}< M' @>>{p'}> N' @>>{t'}> E', \end{CD} $$ 其中标记 $\square$ 的方块为拉回. 换言之, 树的这种态射要保持 $p\colon M\to N$ 的纤维, 也即每个结点的入边的数量. 但这样定义的只是树的态射中的一部分, 即树的含入映射 (Kock 的 $\mathsf{TEmb}$), 又称惰性 (inert) 映射 (GHK 中的 $\Omega_{\mathrm{int}}$, 也即算畴的代数模式中的惰性映射).

例. 树的每个边给出一个含入 $$ \begin{array}{ccccccc} 1 & \leftarrow & 0 & \rightarrow & 0 & \rightarrow & 1 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ E & \leftarrow & M & \rightarrow & N & \rightarrow & E, \end{array} $$ 每个结点给出一个含入 $$ \begin{array}{ccccccc} K+1 & \leftarrow & K & \rightarrow & 1 & \rightarrow & K+1 \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ E & \leftarrow & M & \rightarrow & N & \rightarrow & E, \end{array} $$ 其中 $K$ 是 $p\colon M\to N$ 在 $1\to N$ 处的纤维, 即该结点的入边的全体.

要得到树的全部态射需要考虑多项式函子生成的自由单子.

命题. 树 $T$ 的自由单子是多项式 $$ E\leftarrow\operatorname{Sub}(T)'\to\operatorname{Sub}(T)\to E $$ 给出的函子. 其中 $E$ 是 $T$ 的边集, $\operatorname{Sub}(T)$ 是 $T$ 的子树的集合, $\operatorname{Sub}'(T)$ 是带一个特殊标记的子树的集合, 到 $E$ 的映射给出子树的根.

因此, 树 $S$ 到 $T$ 的映射恰好等同于 $S$ 对应的多项式函子到 $T$ 的自由单子的态射.

例

线性树

线性树是形如 $$ \begin{array} {c} \downarrow\\ \bullet\\ \downarrow\\ \bullet\\ \vdots\\ \bullet\\ \downarrow \end{array} $$ 的树. 这给出单纯形范畴到树的范畴的嵌入 $$ \Delta \hookrightarrow \Omega. $$

球状对象 [球状对象]

百科
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观念

范畴 $\mathcal C$ 中的球状对象 (globular object) 是 $\Theta_{\mathrm{el}}$ 上的 $\mathcal C$-值预层. 其中 $\Theta_{\mathrm{el}}$ 是 Joyal 范畴 $\Theta$ 用于表现 $(\infty,n)$-范畴的代数模式结构中的基本对象, 即各维数的胞腔:

$C_0 = *$;
$C_{n} = [1] (C_{n-1}) \in \Theta_n \subset \Theta$.

定义

展开定义, 一个球状对象就是一列对象 $$ X_0,X_1,X_2\cdots $$ 配备映射 $$ s,t\colon X_n \to X_{n-1}, $$ 满足 $ss=st$, $ts=tt$, 即 “$n$-态射的起点与终点必须是一对平行的 $(n-1)$-态射”.

结合代数 [结合代数]

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观念

结合代数, 又叫 $\mathbb E_1$-代数, $A_\infty$-代数, 是若干元素可以有序地结合起来的结构. 给定 $n$ 个元素的有序组 $(x_1,\cdots,x_n)$, 仅有唯一的方式将它们结合起来 $x_1\cdots x_n$, 即结合的最终结果 “与加括号的方式无关”.

在结合代数的结构之上, 可以考虑 “结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_2$-代数, 也即有两种相容结合运算的代数), “结合代数中的结合代数中的结合代数” ($\mathbb E_3$-代数), …, 以至于无穷. 在无穷处, $\mathbb E_\infty$-代数就是交换代数.

定义

使用算畴

结合代数可定义为结合算畴上的代数. 参见算畴.

使用语法范畴

不同种类的范畴中的结合代数可用各自的语法范畴定义.

积幺半范畴

在积幺半范畴的特殊情形, 结合代数是幺半群的 Lawvere 理论的模型, 即其语法范畴为有限生成自由幺半群的范畴的对偶, 具体地:

其对象为有限集;
态射 $\{x_1,\cdots,x_n\}\to \{y_1,\cdots,y_m\}$ 为形如 $y_i = f_i(x_1,\cdots,x_n)$ 的变量代换, 每个 $f_i$ 为幺半群的理论中的公式, 即 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 上的一个列表; 等价地, 一个态射是 $\{y_1,\cdots,y_m\}$ 到 $\{x_1,\cdots,x_n\}$ 生成的自由幺半群的一个集合映射.

那么积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数即是上述范畴到 $\mathcal C$ 的保持有限积的函子.

在文献中 (例如 Gaitsgory–Rozenblyum), 对于积幺半范畴中的结合代数, 还有另一种 “语法范畴” (虽然它本身不是积幺半范畴), 即 $\Delta^{\mathrm{op}}$. 积幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数也可定义为函子 $$ A\colon \Delta^{\mathrm{op}} \to \mathcal C, $$ 满足 $A([n])\simeq A([1])^{\otimes n}$ ($n\geq 0$). 这里 $[n]\in\Delta^{\mathrm{op}}$ 的直观为连续的 $n$ 条线段 (详见单纯形范畴), 而乘法 $A\times A\to A$ 来自 $\Delta$ 中的态射 $[1] \to [2]$, $0\mapsto 0$, $1\mapsto 2$.

上面的事实可理解为范畴 $\Delta^{\mathrm{op}}$ 上具有结合代数的代数模式结构.

一般幺半范畴

在一般的幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:

其对象为有限全序集 (包括空集);
其态射为偏序集映射;
幺半结构为全序集的 “拼接”: $$ \{a_1 < \cdots < a_n\} \otimes \{b_1 < \cdots < b_m\} = \{a_1 < \cdots < a_n < b_1 < \cdots < b_m\}. $$ 注意这个幺半结构不是对称幺半结构, 不存在自然同构 $A\otimes B\simeq B\otimes A$.

该幺半范畴的底层范畴就是增广单纯形范畴 $\Delta_+$, 其中的单点集是游走的结合代数. 换言之, 幺半范畴 $\mathcal C$ 中的结合代数 $A$ 等同于幺半函子 $$ \Delta_+ \to\mathcal C, $$ 将 $[0]\in\Delta_+$ 映射到 $A$.

对称幺半范畴

在一般的对称幺半范畴中, 结合代数可由如下语法范畴定义:

其对象为有限集;
态射 $X\to Y$ 是一个集合映射 $f\colon X\to Y$ 配备每个点的原像 $f^{-1}(y)$ 的一个全序;
对称幺半结构为无交并.

这个范畴是一个 PROP.

性质

具体表现

链复形范畴中的结合代数有很具体的表现. 见 $A_\infty$-代数.

相反结合代数

每个结合代数 $A$ 都有一个相反结合代数 $A^{\mathrm{op}}$. (在对称幺半范畴中) 它也是 $A$ 在 Morita 范畴中的对偶.

例

自同态

$\mathcal V$-充实范畴中, 对象 $X$ 的自同态集 $\operatorname{End}(X)$ 是 $\mathcal V$ 中的结合代数. 它对应函子 $A\colon \Delta_+ \to \mathcal V$, $A([n])$ 是 $[n]$ 到 $\mathcal V$ 的将每个对象都映射到 $X$ 的 $\mathcal V$-充实函子的全体.

自由结合代数

生象 $A$ 生成的自由结合代数为列表的生象 $$ \operatorname{List}A := \bigsqcup_{n\geq 0} A^n. $$

注意另一个概念, $A$ 生成的自由 $\mathbb E_1$-群是 $\Omega\Sigma_+A$, 是 $\operatorname{List} A$ 的群化.

脉性单子 [脉性单子]

百科
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观念

脉性单子 (nervous monad) 是一个类似于带元数的单子的概念, 比它稍弱一些. 大致上, 对于给定的子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$, 称单子 $T\colon \mathcal E\to\mathcal E$ 具有 “脉性”, 说的是 $T$-代数可以用 $\mathcal A$ 的对象生成的自由代数来探测, 从而给出一个脉的刻画.

定义

预理论与单子

固定稠密全子范畴 $\mathcal A\subset\mathcal E$, 定义 $\mathcal A$-预理论 (pretheory) 为本质满函子 $$ j\colon \mathcal A \to \mathcal K. $$ 这里的直观是 $\mathcal K$ 就像一个 Kleisli 范畴, 其中的对象是元数, 态射是一个代数理论中的变量代换. 记预理论的范畴为 $\mathsf{Pth}(\mathcal A)$. 定义预理论 $\mathcal K$ 的模型的范畴为如下拉回, $$ \begin{CD} \mathsf{Mod}_{\mathcal E}(\mathcal K) @>>> \widehat {\mathcal K} \\ @VVV @VV{j^*}V \\ \mathcal E @>>{\nu_{\mathcal A}}> \widehat {\mathcal A} \end{CD} $$ 其中 $\nu_{\mathcal A}\colon \mathcal E \to \widehat {\mathcal A}$ 为脉函子; 由于 $\mathcal A$ 的稠密性, $\nu_{\mathcal A}$ 为全忠实函子.

由于 $j\colon \mathcal A\to\mathcal K$ 本质满, 可知 $j^*\colon \widehat {\mathcal K} \to \widehat {\mathcal A}$ 单子性, 进而 (由可表现范畴的性质) 其拉回 $\mathsf{Mod}(\mathcal E)(\mathcal K)\to\mathcal E$ 单子性, 即存在单子 $\mu^{\mathcal K}$ 使得 $\mathsf{Mod}_{\mathcal E}(\mathcal K) \simeq \mathcal E^{\mu^{\mathcal K}}$.

这给出 $\mathcal A$-预理论到 $\mathcal E$ 上的单子的一个对应 $$ \mu\colon \mathsf{Pth}(\mathcal A) \to \mathsf{Mnd}(\mathcal E). $$

另一方面, 对 $\mathcal E$ 上任何单子 $T$, 考虑其 Kleisli 范畴 $\mathcal E \to \mathsf{Kl}(T)$ 中 $\mathcal A$ 的本质像, 都给出一个 $\mathcal A$-预理论, 记作 $\mathcal A \to \operatorname{Th}(T)$. 事实上这两个过程构成一对幂等伴随 $$ (\mu \dashv \operatorname{Th})\colon \mathsf{Pth}(\mathcal A) \rightleftarrows \mathsf{Mnd}(\mathcal E). $$

定义. 上述幂等伴随的不动点称为 $\mathcal A$-脉性单子.

例

代数模式

设 $\mathcal O$ 为代数模式, 即一个范畴 $\mathcal O$ 带有正交分解系 $(\mathcal O_{\mathrm{act}},\mathcal O_{\mathrm{int}})$ 以及全子范畴 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}} \subset \mathcal O_{\mathrm{int}}$. 考虑脉函子 $$ \nu_i \colon \mathcal O_{\mathrm{int}} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} $$ 的脉函子 $$ \nu_{\nu_i} \colon \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} \to \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}; $$ 它等同于沿 $i\colon \mathcal O_{\mathrm{el}}\hookrightarrow\mathcal O_{\mathrm{int}}$ 的右 Kan 扩张 $i_*$, 因此 Segal 对象的范畴为如下的拉回: $$ \begin{array}{ccc} \mathsf{Seg}_{\mathcal O} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \widehat {\mathcal O_{\mathrm{el}}} & \rightarrow & \widehat {\mathcal O_{\mathrm{int}}}. \end{array} $$

注意 $i$ 全忠实蕴涵 $\nu_i$ 稠密, 且 $\nu_{\nu_i} = i_*$ 全忠实. 因此 Segal 对象的范畴 $\mathsf{Seg}_{\mathcal O}$ 正是 $\mathcal O_{\mathrm{int}}$-预理论 $\mathcal O_{\mathrm{int}}\to \mathcal O$ (注意这是个本质满函子) 的模型的范畴.

融贯子 [融贯子]

观念

一个 Grothendieck 融贯子 (coherator) 给出球状集上的一种代数结构, 使得其 ($\mathsf{Set}$-值) 模型可以给出生象的表现.

定义

回忆 Joyal 范畴 $\Theta = \operatorname{colim}_n \Theta_n$ 的对象可视为球状集, 它是若干不同维数胞腔 $D_n$ 的粘合 $$ S = D_{h_1} \sqcup_{D_{b_1}} D_{h_2} \cdots \sqcup_{D_{b_{m-1}}} D_{h_m},\ (\star) $$ 其中每个 $D_{b_i}$ 同时是 $D_{h_i}$ 和 $D_{h_{i+1}}$ 的某个较低维面, 并且只允许将一个 “出发” 面粘到一个 “到达” 面上. 如下是 $\Theta$ 的一个对象的示意.

$$ S = (D_3 \sqcup_{D_1} D_2) \sqcup_{D_0} D_1 \sqcup_{D_0} D_2. $$

(如果读者认为上述定义不够直观或不够严格, 可采用 Joyal 的等价定义, 见 Joyal 范畴.)

记 $\Theta$ 中球状映射构成的宽子范畴为 $\Theta_0$ (换言之必须将每个胞腔映射到一个同维数的胞腔; 注意球状集没有 “退化” 部分); 在 $\Theta$ 上的代数模式结构中, 这个子范畴恰为惰性映射的范畴 $\Theta_{\mathrm{int}}$.

一个融贯子是向 $\Theta_0$ 中加入一些满足特定要求的活性映射所得的代数模式. 具体要求如下.

定义. 一个 Grothendieck 融贯子 (coherator) $\mathcal C$ 是以 $\Theta_0$ 为惰性部分, 各维数胞腔为基本对象的代数模式, 满足

嵌入 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 保持形如 $(\star)$ 的余极限;
嵌入 $\Theta_0 \to \mathcal C$ 分解为一座塔 $\Theta_0 = \mathcal C_0 \to \mathcal C_1 \to\cdots$, $\mathcal C = \operatorname{colim}_r \mathcal C_r$, 且每个函子 $\mathcal C_r \to \mathcal C_{r+1}$ 都是这样的操作: 对特定的平行胞腔 $f,g\colon D_{h-1} \rightrightarrows S$ (即 “出发面”, “到达面” 都相等的两个胞腔) 自由地加入一个态射 $D_h \to S$, 称为填充, 使得其 “出发面”, “到达面” 分别为 $f,g$. 我们额外要求 $\dim S \leq h$.
(可缩性) 任何两个平行胞腔最终都存在填充.

融贯子 $\mathcal C$ 的模型就是指其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象 $X\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 也就是满足如下条件的预层: $$ X(S) = \operatorname{lim}_{D_n\rightarrowtail S} X(D_n). $$

为了帮助理解, 我们写出一个可能的融贯子的前几项, 同时写出相应的在一个模型 $X$ 上的运算.

首先, $\mathcal C_0 = \Theta_0$ 是没有任何活性映射的部分, 不给出 $X$ 上的任何运算.
对于 $D_0\rightrightarrows D_0$ 加入一个填充 $\mathrm{id}\colon D_1 \to D_0$, 这是一个活性映射, 作用是给出 $X$ 上的 “对象” 的 “恒等态射” $X(D_0) \to X(D_1)$.
对于 $D_0 \rightrightarrows D_1 \sqcup_{D_0} D_1$ 加入一个填充 $\mathrm{comp}\colon D_1 \to D_1 \sqcup_{D_0} D_1$, 给出 “态射的复合” $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_1)$.
对于 $D_0 \rightrightarrows D_1$ (两个点顺序与通常相反) 加入一个填充 $\mathrm{inv}\colon D_1\to D_1$, 给出 “态射的逆” $X(D_1) \to X(D_1)$; 接着考虑两个映射 $D_1\rightrightarrows D_1$, 一个是 $D_1\overset{\mathrm{id}}{\to} D_0\to D_1$, 另一个是 $D_1 \overset{\mathrm{comp}}{\longrightarrow} D_1 \sqcup_{D_0} D_1 \overset{(\mathrm{id},\mathrm{inv})}{\longrightarrow} D_1$, 加入一个填充 $D_2 \to D_1$, 给出逆的一个运算律 $X(D_1)\to X(D_2)$, $\alpha\mapsto (\alpha\circ\alpha^{-1} \to \mathrm{id})$.
考虑交换图 $$ \begin{CD} D_1 @>>> D_1\sqcup_{D_0} D_1 \\ @VVV @VV{D_1\sqcup_{D_0} \mathrm{comp}}V \\ D_1\sqcup_{D_0} D_1 @>>{\mathrm{comp}\sqcup_{D_0} D_1}> D_1\sqcup_{D_0} D_1\sqcup_{D_0} D_1, \end{CD} $$ 我们有了两个映射 $D_1 \rightrightarrows D_1 \sqcup_{D_0}D_1 \sqcup_{D_0}D_1$, 分别给出两种复合 $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_1)$. 加入一个填充 $D_2 \to D_1 \sqcup_{D_0}D_1 \sqcup_{D_0}D_1$, 给出三个态射复合的 “结合子” $X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1)\times_{X(D_0)}X(D_1) \to X(D_2)$.
…

注意这样给出的 “运算律” 永远不是等式, 而是更高阶的胞腔.

命题. 每个融贯子 $\mathcal C$ 都可视为代数模式, 其惰性映射的宽子范畴为 $\Theta_0$, 基本对象为各维数胞腔.

定义. 融贯子 $\mathcal C$ 的模型是其 $\mathsf{Set}$-值 Segal 对象, 也即函子 $X\colon \mathcal C^{\mathrm{op}} \to \mathsf{Set}$, 满足对任意 $S\in\mathcal C$, $$ X(S) = \operatorname{lim}_{E\rightarrowtail S} X(E), $$ 其中 $E\rightarrowtail S$ 取遍 $S$ 的胞腔.

这个条件看起来就是层条件, 这使人思考范畴 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 是否为意象. 但需要注意的一点是, “所有从胞腔到形状 $S$ 的惰性映射” 可能不满足 Grothendieck 覆盖的条件 (如拉回稳定性), 故 $\mathsf{Mod}(\mathcal C)$ 不一定是意象.

性质

可表函子为模型

对于融贯子 $\mathcal C$, 可表函子 $\mathbf{y}(S)\colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathsf{Set}$ 总是构成 $\mathcal C$ 的模型. 这是因为所有胞腔 $E\rightarrowtail S$ 构成 $\mathcal C$ 中的余极限.

高阶范畴 [高阶范畴]

观念
SimplicialCat

教程 : 高阶范畴论

一个高阶范畴是一类对象和对象之间的态射构成的全体; 不同于普通范畴的是, 高阶范畴两个对象 $X,Y$ 之间的态射全体 $\operatorname{Hom}(X,Y)$ 本身也构成高阶范畴, 从而可以谈论态射之间的态射 ($2$-态射), 态射之间的态射之间的态射 ($3$-态射), …, 以至于无穷.

根据同伦信息的层级, 可将高阶范畴用两个整数 $n,r$ 分类. 见 $(n,r)$-范畴.

第一个数 $n$ 表示有之多 $n$ 阶非平凡态射 (这是个粗略的说法, 详见 $(n,r)$-范畴),
第二个数 $r$ 表示有至多 $r$ 阶不可逆态射.

高阶范畴常常是用基本形状定义的. 例如 $(\infty,1)$-范畴可用单纯形定义, $(\infty,n)$-范畴可用 Joyal 范畴 $\Theta$ 的对象定义. 这些基本形状可用于探测高阶范畴中的复合运算, 从而将高阶范畴视为相应代数模式的 Segal 对象. 然而我们不必困于特定的一组基本形状, 而是可用许多不同形状的胞腔粘成图形. 参见线图, 流形图.

高阶范畴也可以通过充实范畴理论来归纳地定义; 如 $(n,r)$-范畴就是充实于 $\mathsf{Cat}_{(n-1,r-1)}$ 的范畴.

性质

范畴的范畴

高阶范畴之间也有态射, 称为函子. 函子不仅将对象映射到对象, 而且将态射范畴映射到态射范畴. 最重要的函子是 “态射” 函子 $$ \operatorname{Hom}_{\mathcal C}(-,-) \colon \mathcal C^{\mathrm{op}}\times\mathcal C \to \mathsf{Cat}. $$ 由此可以给出态射的复合, 以及复合的结合律等.

因此, 高阶范畴的全体也构成一个高阶范畴. $(n,r)$-范畴的全体构成一个 $(n+1,r+1)$-范畴.